已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$，左右焦点分别为$F_1\left(-c,0\right),F_2\left(c,0\right)$，上顶点为$D$。

(1) 若$\triangle DF_1F_2$为等腰直角三角形，$C$上两点$A,B$满足$\overrightarrow{AF_2}=3\overrightarrow{F_2B}$，求直线AB的斜率

(2) 若$C$上两点$A,B$满足$\overrightarrow{AF_2}=t\overrightarrow{F_2B}$，直线$AB$的斜率为$k$，求证：$k^2<\frac{4t}{\left(t-1\right)^2}$

(3) 双曲线$E:\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1\left(mn\neq0\right)$，其离心率为$\frac{\sqrt6}{2}$，过$E$的右焦点$F$的直线交$E$于$G,H$两点，且$\overrightarrow{GF}=t\overrightarrow{FH}$，直线$GH$的斜率为$k$，求证：$k^2<\frac{ln^2{t}}{24}+\frac{6}{ln^2{t}}$