置顶：常见单位/常数

• 真空介电常数 $\varepsilon_{0}=8.8541 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}\right)$
• 真空磁导率 $\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{A}$
• 元电荷 $e=1.60217733 \times 10^{-19} \mathrm{C}$
• 磁感应强度单位高斯 $1 \mathrm{G}=1 \times 10^{-4} \mathrm{T}$
• 长度单位 $1\mathring{A}=10 ^{-10} \mathrm{m}$（可见光波长范围 $3900 \mathring{A}\sim 7800 \mathring{A}$）

置顶：常用公式/解题方法合集

• 常见电场分布（静电场）
• 常见电势分布（静电场）
• 常见线电流分布的空间磁场（电生磁）
• 旋转电荷产生的磁场（电生磁）
• 常见磁介质激发磁场的模型
• 自感互感问题解题方法
• 全电流定律（位移电流）求磁感应强度的方法
• 夫琅禾费衍射
• 光栅衍射

第十一章 真空中的静电场

电学基本概念

电荷

表示物体带电多少的物理量称为电荷量，简称电量，通常用 $q$ 来表示。
国际单位制中，电量的单位为库仑，用 $C$ 表示。

电荷守恒

实验证明，在一个与外界没有电荷交换的系统中，正负电荷电量的代数和保持不变，与系统内的任何物理过程以及系统运动与否无关。这一性质称为电荷守恒定律。电荷守恒定律与能量守恒定律一样，是自然界中的基本定律。

电荷量子化

• 1907-1913 年，美国物理学家密立根用在电场和重力场中运动的带电油滴进行实验，发现微小油滴带电量的变化不连续。
• 所有油滴所带的电量均是某一最小电荷值的整数倍，该最小电荷值就是电子电荷。
• 电荷的这一性质称为电荷量子化。电子电量的近代测量值为 $|e|=1.60217733 \times 10^{-19} \mathrm{C}$。

点电荷模型

• 点电荷是描述带电体的理想化模型。
• 当带电体的大小和形状在所研究的问题中对结果没有影响或影响可以忽略时，可以把带电体看作没有大小和形状的点状电荷，简称为点电荷
• 点电荷的带电量和带电体相同。
• 点电荷的概念实际上是相对的，并没有绝对意义上的点电荷。

库仑定律

• 静止的带电体间会有电相互作用力，称为静电力。静电力是一种长程力，强度远大于物体间的万有引力。
• 库仑定律可表述为在真空中两个静止点电荷间的电相互作用力的方向沿两个点电荷的连线，大小与两点电荷的电量 $q_{1}$ 和 $q_{2}$ 的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。用数学公式可表示为 $$\boldsymbol{f}=k_{\mathrm{e}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \boldsymbol{e}_{r}$$ 式中
• $\boldsymbol{f}$ 为 $q_{2}$ 对 $q_{1}$ 的作用力
• $r$ 为两点电荷间的距离
• $\boldsymbol{e}_{r}$ 为由 $q_{2}$ 到 $q_{1}$ 方向的单位矢量
• $k_{\mathrm{e}}$ 为比例系数。$k_{\mathrm{e}}$ 的单位为 $\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}$。在真空中，$k_{\mathrm{e}}=8.9875 \times 10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}$。实际计算中，常取近似值 $k_{\mathrm{e}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}$。在国际单位制中，还常用 $\varepsilon_{0}$ 来替代 $k_{\mathrm{e}}$，即 $k_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$，则 $\varepsilon_{0}=8.8541 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}\right)$，$\varepsilon_{0}$ 称为真空介电常数。由此，可将库仑定律完整地表示为如下的常用形式： $$\boldsymbol{f}=\frac{q_{1} q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \boldsymbol{e}_{r}$$

电力叠加原理

实验表明，当空间有多个点电荷同时存在时，其中每个点电荷所受的总静电作用力应等于所有其他点电荷单独作用时的静电作用力的矢量和，这就是电力叠加原理。由 $n$ 个点电荷组成点电荷系 $\left\{q_{i}\right\}$，则电量为 $q$ 的点电荷受到的点电荷系总静电作用力

$$\begin{aligned} \boldsymbol{f} &=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{f}_{i}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{n} \frac{q q_{i}}{r_{i}^{2}} \boldsymbol{e}_{r_{i}} \\ &=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i=1}^{n} \frac{q q_{i}}{r_{i}^{3}} \boldsymbol{r}_{i} \end{aligned}$$

式中 $r_{i}$ 和 $\boldsymbol{e}_{r_{i}}$ 分别表示从点电荷 $q_{i}$ 到点电荷 $q$ 的距离和方向单位矢量。$\boldsymbol{r}_{i}=r_{i} \boldsymbol{e}_{r_{i}}$ 为点电荷相对于点电荷 $q_{i}$ 的位置矢量。

电场

任何电荷都会在其周围的空间产生电场，通过电场实现对其他电荷的电作用力。反过来，其他电荷也会在其周围的空间产生电场，通过电场实现对处于电场中的任意电荷产生电作用力。电荷间的电相互作用是通过电场这种中间媒介来传递的。电相互作用力又称为电场力。静止不变的电荷在空间产生的电场分布不随时间发生变化，称为静电场。

电场强度

电场的电场强度是反映电场性质的物理量，用 $\boldsymbol{E}$ 来表示，即

$$\boldsymbol{E}=\frac{\boldsymbol{f}}{q_{0}}$$

电场中一场点的电场强度等于该点处的单位正电荷所受的力。一般说来，不同场点上的电场强度大小和方向各不相同，是空间位置的矢量函数，可表示为 $\boldsymbol{E}(x,y,z)$ 或 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$。

电场强度的计算

• 点电荷的电场

  $$\boldsymbol{E}=\frac{\boldsymbol{f}}{q_{0}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \boldsymbol{e}_{r}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{r}$$

• 点电荷系的电场
  点电荷系的电场在空间各点的电场强度为点电荷系的各个点电荷单独存在时在同一点处产生的电场强度的矢量和，称为电场的场强叠加原理。

  $$\boldsymbol{E}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{E}_{i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{q_{i}}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{i}^{3}} \boldsymbol{r}_{i}$$

• 连续分布电荷系统的电场

  $$\boldsymbol{E}=\int \mathrm{d} \boldsymbol{E}=\int \frac{\mathrm{d} q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{r}$$
  • 假如电荷分布在三维空间的一个区域内（体电荷分布），我们可以用电荷体密度 $\rho$ 来描述电荷分布情况，即 $$\rho=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta V}=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} V}$$ 于是有 $\mathrm{d} q = \rho \mathrm{d} V$，代入可得 $$\boldsymbol{E}=\int \mathrm{d} \boldsymbol{E}=\int \frac{\rho \mathrm{d} V}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{r}$$
  • 假如电荷分布在二维空间的一个区域内（面电荷分布），可以引入电荷面密度 $\sigma$ $$\sigma=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} S}$$ 于是有 $\mathrm{d} q=\sigma \mathrm{d} S$，代入可得 $$\boldsymbol{E}=\int \mathrm{d} \boldsymbol{E}=\int \frac{\sigma \mathrm{d} S}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{r}$$
  • 假如电荷分布在一维空间的一个区域内（线电荷分布），可以引入电荷线密度 $\lambda$ $$\lambda=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} l}$$ 于是有 $\mathrm{d} q=\lambda \mathrm{d} l$，代入可得 $$\boldsymbol{E}=\int \mathrm{d} \boldsymbol{E}=\int \frac{\lambda \mathrm{d} l}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{r}$$

典型电场强度

• 无限长均匀带电直线的电场强度

  $$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r} \boldsymbol{e}_{r}=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \boldsymbol{r}$$

• 无限大均匀带电平面的电场强度

  $$\boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{2 \boldsymbol{\varepsilon}_{0}} \boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$$

  从结果可以看出，电场强度与场点到带电平面的距离无关，则无限大均匀带电平面的电场是匀强场。

• 均匀带电 $q$、半径为 $R$ 的圆环的轴线上

  $$E=\int_{0}^{2 \pi R} \frac{q x d l}{8 \pi^{2} \varepsilon_{o} R r^{3}}=\frac{q x}{4 \pi \varepsilon_{o}\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}$$

• 均匀带电 $q$、半径为 $R$ 的圆盘的轴线上

  $$E=\int d E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}}\right)$$

• 均匀带电 $Q$、半径为 $R$ 的球面距球心 $r$ 处

  $$\boldsymbol{E}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{r}, & r>R \\ 0, & r<R \end{array}\right.$$

• 均匀带电 $Q$、半径为 $R$ 的球体

  $$\vec{E}=\left\{ \begin{array}{l} \frac{Q \vec{r}}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} ,\quad r \leq R \\ \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \vec{r} ,\quad r \geq R \end{array}\right.$$

• 半径为 $R$ 的无限长带电圆柱，电荷体密度为 $\rho$

  $$\vec{E}=\left\{\begin{array}{l} \frac{\rho}{2 \varepsilon_{0}} \vec{r},\quad r<R\\ \frac{\rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0} r^2} \vec{r},\quad r \geq R \end{array}\right.$$

• 半径为 $R$ 的无限长带电柱面，面电荷密度 $\sigma$

  $$\vec{E}=\left\{\begin{array}{l} 0,\quad r<R\\ \frac{\sigma R}{\varepsilon_{0} r^2} \vec{r},\quad r \geq R \end{array}\right.$$

• 两同心导体球壳，设内外球壳半径分别为 $R_A$ 和 $R_B$，带电 $+q$ 和 $-q$，则两球壳间的场强

  $$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

电偶极子

定义

大小相等，符号相反并有一微小间距的两个点电荷构成的复合体。

• 电偶极矩：$\vec{p}=q\vec{l}$

延长线上的场强

$$\vec{E}_{A}=\frac{2 \vec{p}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}}$$

中垂线上的场强

$$\vec{E}_{B}=-\frac{\vec{p}}{4 \pi \varepsilon_{o} r^{3}}$$

求场强问题的解题思路

1. 建立坐标系
2. 确定电荷密度
3. 求电荷元电量 $\mathrm{d}q$
4. 确定电荷元的场 $d \vec{E}=\frac{d q}{4 \pi \varepsilon_{0}\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|^{3}}\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)$
5. 求场强分量，计算 $\mathrm{d}E_x$、$\mathrm{d}E_y$、$\mathrm{d}E_z$，然后积分得 $E_x$、$E_y$、$E_z$。注意对称性分析。
6. 积分求场强分量

电场线

电场中每一空间点只有一确定的电场强度 $\boldsymbol{E}$，这个性质与空间光滑曲线上每一点只有一个切线方向的性质相同。因此，我们可以用一组光滑的曲线来形象地描述电场分布。同时，考虑到电场强度大小的分布情况，引入一组光滑曲线的原则：

1. 使得这些曲线上各点的切线方向都与该点处的电场强度方向一致
2. 设 $\mathrm{d} S$ 为在电场中任一点与该点处电场强度方向垂直的面积元，通过该面积元的光滑曲线的数目 $\mathrm{dN}$ 满足 $$E=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta N}{\Delta S}=\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} S}$$

一组光滑的曲线既可以由曲线的切线方向表示电场中一点电场强度方向，也可以由曲线的疏密程度表示电场强度大小。这样一组光滑的曲线称为电场线。

电场线具有以下特点：

• 静电场的电场线发自正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远，在无电荷处不中断。
• 静电场的电场线不能闭合。
• 任意两条电场线不能相交，也不能相切。

电通量

定义通过电场中任意曲面的电场线条数为通过该面的电通量，用 $\Phi_{\mathrm{e}}$ 表示。

匀强电场

在匀强电场 $\boldsymbol{E}$ 中任取一面积为 $\mathrm{d} S$ 的面积元，该面积元的法线方向 $\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$ 与场强 $\boldsymbol{E}$ 之间夹角为 $\theta$。$\mathrm{d} S_{\perp}$ 为 $\mathrm{d} S$ 在垂直于匀强电场方向的投影面积，即 $\mathrm{d} S_{\perp}=\cos \theta \mathrm{d} S$。依据电场线的定义，通过面积元 $\mathrm{d} S$ 的电通量为

$$\mathrm{d} \Phi_{\mathrm{e}}=E \mathrm{~d} S_{\perp}=E \mathrm{~d} S \cos \theta$$

定义面元矢量 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$，其大小由 $\mathrm{d} S$ 表示，方向由 $\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$ 表示。由矢量点积的定义，通过面元 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 的电通量为

$$\mathrm{d} \Phi_{\mathrm{e}}=E \cos \theta \mathrm{d} S=\boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

如果面元 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 定义为与图中相反的方向，通过 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 的电通量为负值。因此，电通量是一代数量，可以取正值、负值或零。具体取值，由 $\boldsymbol{E}$、$\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 以及 $\boldsymbol{E}$ 与 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 的夹角决定。

非匀强电场

对于任意曲面 $S$，我们可以把曲面 $S$分割成无穷多个小面元。这样，尽管电场分布不均匀，但对每个小面元来讲，电场仍可以看作是匀强的。
对于电场中任一封闭曲面 $S$，电通量为

$$\Phi_{\mathrm{e}}=\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

对于封闭曲面，我们通常约定封闭曲面任一面元 $\mathrm{d}S$ 的方向沿该面元所在位置从封闭曲面内向封闭曲面外的法线方向。因此，每一条从封闭曲面内穿出的电场线对电通量的贡献为 $+1$，每一条从封闭曲面外穿入的电场线对电通量的贡献为 $-1$。

高斯定理

高斯定理给出了电场中通过任一封闭曲面的电通量与该曲面所包围的源电荷之间的定量关系，即在真空中通过任一封闭曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电量代数和的 $1 / \varepsilon_{0}$ 倍。如果电荷分布是多个分立的点电荷，则

$$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\frac{1}{\boldsymbol{\varepsilon}_{0}} \sum_{i=1}^{n} q_{i}$$

如果电荷分布是连续体分布，则

$$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \iiint_{V} \rho \mathrm{d} V$$

式中封闭曲面 $S$ 简称为高斯面；$\rho$ 为电荷体密度；$V$ 是以 $S$ 为边界的空间体积。

• 对于任意连续分布的电荷体系，可以把连续分布的电荷体系切割成无限多个电荷元，即把连续分布的电荷体系看成由无限多个点电荷组成的点电荷系。则上述关于点电荷体系的静电场的讨论也适用于连续分布电荷体系。所以，连续电荷体系的高斯定理成立。
• 高斯定理表明通过封闭曲面的电通量只与该曲面所包围的电量的代数和有关。但这并不是说封闭曲面上的场强只由曲面所包围的电荷决定，实际上任意空间点的场强是由包括封闭曲面内和封闭曲面外分布的所有电荷分布所共同决定的。
• 高斯定理反映出静电场是有源场这一事实。如封闭曲面内含正电荷，则电通量为正，有电场线出来；如封闭曲面内含负电荷，则电通量为负，有电场线进去。这说明电场线发自正电荷终止于负电荷，在没有电荷的地方不中断。具有这种性质的场称为有源场。
• 高斯定理从理论上阐明了电场与电荷的关系，并且在源电荷分布具有一定对称性的条件下，可以根据源电荷分布来计算场强。常见的具有高对称性的电荷分布如下。
  • 球对称性：如点电荷、均匀带电球面和均匀带电球体（或电荷体密度仅与空间点到球心的距离有关的带电球体）。
  • 柱对称性：如均匀带电直线、均匀带电柱面和均匀带电柱体（或电荷体密度仅与空间点到柱对称轴的距离有关的带电柱体）。
  • 平面对称性：如无限大均匀带电平面和无限大均匀带电平板（或电荷体密度仅与空间点到平板对称平面的距离有关的带电平板）。

用高斯定理求解对称场的电场强度的解题步骤

1. 场对称性分析。球对称，轴对称，面对称
2. 选取合适的高斯面。
3. 确定面内电荷代数和。
4. 应用定理列方程求解。 $$\Phi=\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum_{i=1(\text { 内 })}^{n} q_{i}$$ （有时还可灵活应用叠加原理和“补偿法”）

选取高斯面的原则

1. 高斯面要经过所求场点。
2. 高斯面应选取规则形状。
3. 平行原则：面上某些点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。
4. 垂直原则：高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的电通量为零。

电场力做功

点电荷的静电场力做功

设在点电荷 $q$ 的静电场中有一试验点电荷 $q_{0}$ 由 $a$ 点沿如图 $11-19$ 所示的路径运动到 $b$ 点，则 $q$ 的静电场对试验点电荷 $q_{0}$ 做功为

$$\begin{aligned} A &=\int_{a}^{b} q_{0} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} \\ &=\int_{a}^{b} \frac{q q_{0}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} \\ &=\int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{q q_{0}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} r \mathrm{~d} r \\ &=-\frac{q q_{0}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{b}}-\frac{1}{r_{a}}\right) \end{aligned}$$

• 点电荷的电场力做功与试验电荷的运动路径无关

一般电荷系统的静电场力做功

对于一般的电荷系统，总可以把它看成是有限多个（或无限多个）点电荷组成的点电荷系。按场强叠加原理，空间任意点的场强为各个点电荷单独存在时产生电场强度 $\boldsymbol{E}_{i}$ 的矢量和，即 $\boldsymbol{E}=\sum \boldsymbol{E}_{i}$。若试验点电荷 $q_{0}$ 在该电场中沿任意路径由 $a$ 点运动到 $b$ 点时，静电场 $\boldsymbol{E}$ 对试验点电荷 $q_{0}$ 做功为

$$A=\int_{a}^{b} q_{0} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{a}^{b} q_{0} \sum_{i} \boldsymbol{E}_{i} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\sum_{i}\left(\int_{a}^{b} q_{0} \boldsymbol{E}_{i} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}\right)$$

静电场力做功与电荷运动路径无关，这也可以表示为

$$\oint_{l} q_{0} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$$

其中 $l$ 表示任意一个闭合回路。因为 $q_{0} \neq 0$，则

$$\oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$$

环流定理

$\oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 称为电场强度 $\boldsymbol{E}$ 沿闭合回路 $l$ 的环流。

$$\oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$$

称为静电场的环流定理。利用矢量场论的斯托克斯定理，由上式可知

$$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}=0$$

此式称为静电场环流定理的微分形式。
环流定理表明：静电场是保守（力）场，也称为无旋场。由力学中的相关知识知道，我们可以引入（电）势能来描述该保守力场。

电势能和电势

因为保守力做功与带电粒子运动路径无关，可以引入电势能来描述静电场力做功，即静电力所做的功等于系统电势能增量的负值。

$$\int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=-\left(\frac{W_{b}}{q_{0}}-\frac{W_{a}}{q_{0}}\right)$$

$W_{a} / q_{0}$ 也仅与静电场的空间分布有关。我们可以用 $V_{a}=W_{a} / q_{0}$ 来描述静电场在空间 $a$ 点的性质，$V_{a}$ 称为 $a$ 点的电势，则

$$-\left(V_{b}-V_{a}\right)=\int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$$

按照定义，静电场中任一点 $a$ 的电势 $V_a$ 等于将单位正点电荷从 $a$ 点沿任意路径移动到电势零点时作用在单位正点电荷上的静电场力所做的功。
电势是标量，单位为 $V$（伏特）。用电势 $V$ 来描述电场时，静电场是一个标量场。对于电势零点的选择，通常约定：

• 在理论计算时，对有限空间区域内分布的带电体，选无限远为电势零点
• 在实际应用中，取大地、仪器外壳等为电势零点。

引入电势概念后，带电粒子 $q$ 在静电场中运动时，电场力做功可以表示为 $A_{a b}=-q\left(V_{b}-V_{a}\right)$。

点电荷电场的电势

对于点电荷，选无穷远点为电势零点。根据电势的定义，点电荷的静电场中任意空间点 $P$ 的电势为

$$V_{P}=\int_{r_{P}}^{\infty} \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} r \cdot \mathrm{d} r=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{P}}$$

由此可知：与电场强度描述一样，点电荷的电势分布具有球对称性，即点电荷的静电场中任一空间点的电势只与该点到点电荷的距离 $r$ 有关，与该点相对于点电荷的方位无关，则点电荷的电势分布可表示为

$$V(r)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$$

电势叠加原理

点电荷系静电场中任意场点的电势等于各个点电荷在同一场点的电势的代数和，这称为电势叠加原理。由此，可以得到有限空间区域内连续电荷分布带电体电场的电势分布。把连续电荷分布带电体分割成为无穷多个电荷元，把每个电荷元看作点电荷，则连续电荷分布带电体的电势分布为

$$V=\int \frac{\mathrm{d} q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$$

• 上式是对有限空间区域内连续电荷分布带电体并依据电势叠加原理给出的。
• 只适用于有限空间区域内连续电荷分布带电体的电势计算。

常见模型的电势分布

总电量为 $Q$，半径为 $R$ 的均匀带电球面

带电球面外距球心 $r$ 处 $P_{1}$ 点的电势为

$$V=\int_{P_{1}}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{r}^{\infty} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \mathrm{~d} r=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$$

带电球面内距球心 $r$ 处 $P_{2}$ 点的电势为

$$V=\int_{P_{2}}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{r}^{R} 0 \cdot \mathrm{d} r+\int_{R}^{\infty} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \mathrm{~d} r=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$$

电荷线密度为 $\lambda$ 的无限长均匀带电直线

$$V_{P}=\int_{P}^{P_{0}} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{r}^{r_{0}} \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r} \mathrm{~d} r=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \frac{r_{0}}{r}$$

其中 $r_{0}$ 处为电势零点

均匀带电 $Q$、半径为 $R$ 的球体

球内

$$V=\frac{q\left(3 R^{2}-r^{2}\right)}{8 \pi \varepsilon_{0} R^3}$$

球外

$$V=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$$

半径为 $R$ 的无限长带电圆柱，电荷体密度为 $\rho$

设 $r=R$ 处 $U=0$

$$U=\left\{\begin{array}{l} -\frac{\rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \ln \frac{r}{R} <0,\quad r>R\\ \frac{\rho}{2 \varepsilon_{0}}\left(R^{2}-r^{2}\right)>0,\quad r<R \end{array}\right.$$

均匀带电 $q$、半径为 $R$ 的圆环的轴线上

$$V=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} \sqrt{x^{2}+R^{2}}}$$

面电荷密度 $\sigma$、半径为 $R$ 的圆盘的轴线上

$$\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}\left(\sqrt{R^{2}+x^{2}}-x\right)$$

等势面

所谓等势面就是静电场中电势相同的空间点构成的曲面，满足 $V(x, y,z)=C$
等势面具有如下性质：

• 点电荷沿等势面移动，电场力不做功。
• 等势面上任意点 $P$ 处的电场强度方向为该点处的法线方向。
• 相邻等势面间距小处，场强大；间距大处，场强小。因此可用等势面的疏密情况反映电场的强弱。

电势与电场强度的微分关系

$$\boldsymbol{E}=-\boldsymbol{\nabla} V$$

即任意空间点的电场强度与该点处电势的梯度大小相等，方向相反。因为梯度算子 $\boldsymbol{\nabla}$ 中包含了对标量函数的微分操作，上式就是电场强度与电势间的微分关系式。

在直角坐标系中，梯度算子 $\boldsymbol{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{i}+\frac{\partial}{\partial y} \boldsymbol{j}+\frac{\partial}{\partial z} \boldsymbol{k}$。电场强度在直角坐标系中的分量式

$$E_{x}=-\frac{\partial V}{\partial x},\quad E_{y}=-\frac{\partial V}{\partial y},\quad E_{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}$$

在平面极坐标系中，有 $\boldsymbol{\nabla}=\frac{\partial}{\partial r} \boldsymbol{e}_{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} e_{\theta}$，可得电场强度在平面极坐标系中的分量式

$$E_{r}=-\frac{\partial V}{\partial r},\quad E_{\theta}=-\frac{\partial V}{r \partial \theta}$$

利用式电势与电场强度的微分关系，在给定静电场电势分布的情况下，可以方便地得到电场的电场强度空间分布。

电偶极子

电偶极子在 $P$ 点的电势为

$$V=V_{+}+V_{-}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\right)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{r_{-}-r_{+}}{r_{-} r_{+}}$$

式中 $r_{+},r_{-}$ 分别表示 $P$ 点到电偶极子正、负点电荷的距离。因 $r \gg l$，我们有近似关系 $r_{+} r_{-} \approx r^{2}$ 和 $r_{-}-r_{+} \approx l \cos \theta$，其中 $r$ 表示 $P$ 点到电偶极子中心的距离，$\theta$ 表示 $P$ 点相对于电偶极子中心的位置矢量 $\boldsymbol{r}$ 与电矩 $\boldsymbol{p}$ 之间的夹角，则

$$V(r,\theta)=\frac{q l \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}=\frac{\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}}$$

电偶极子的电场强度在平面极坐标系中的分量式

$$\begin{array}{c} E_{r}=-\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}\right)=\frac{p \cos \theta}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \\ E_{\theta}=-\frac{\partial V}{r \partial \theta}=-\frac{\partial}{r \partial \theta}\left(\frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}\right)=\frac{p \sin \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \end{array}$$

矢量形式

$$\boldsymbol{E}=E_{r} \boldsymbol{e}_{r}+E_{\theta} \boldsymbol{e}_{\theta}=\frac{p \cos \theta}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{e}_{r}+\frac{p \sin \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \boldsymbol{e}_{\theta}$$

用场点的相对位置矢量 $\boldsymbol{r}$ 及电矩 $\boldsymbol{p}$ 表示时，电场强度为

$$\boldsymbol{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}}\left[-\boldsymbol{p}+\frac{3(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{p}) \boldsymbol{r}}{r^{2}}\right]$$

电偶极子在电场中受力

设电偶极子电矩 $\boldsymbol{p}$ 与电场强度 $\boldsymbol{E}$ 的夹角为 $\theta$，则

• 电偶极子受到电场作用的力矩 $$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{E}$$
• 在电场中，电偶极子的电势能为 $$W=-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}$$

第十二章 静电场与物质的相互作用

静电感应

如果孤立的块状导体处于电场强度为 $\boldsymbol{E}_0$ 的静电场中，金属导体内部的自由电子将在外电场作用下沿 $\boldsymbol{E}_0$ 的反方向定向移动。但是，由于这些自由电子只能在金属内部移动，当部分自由电子移动到金属导体的左端时将停止移动，从而在导体的左端堆积起来。因此金属导体左端将因为电子的堆积呈现带负电特征，而导体的右端因缺乏电子呈带正电特征。这种由于外加静电场的存在而导致的金属导体电荷重新分布的现象称为静电感应。

在静电场的作用下，由于金属导体内部的自由电子密度和正电离子密度仍然保持相同，因此电荷只能堆积在金属导体的边界（或导体的表面）上。这些由于静电感应而出现在金属导体表面的电荷称为感应电荷。感应电荷也会在金属内部产生电场 $\boldsymbol{E}^{\prime}$，$\boldsymbol{E}^{\prime}$ 与外电场 $\boldsymbol{E}_{0}$ 方向相反，因此感应电荷的电场将阻止自由电子的定向移动。随着金属表面电荷积累的进一步增加，$\boldsymbol{E}^{\prime}$ 的值将进一步增大。当 $\boldsymbol{E}^{\prime}$ 的值达到外加电场 $\boldsymbol{E}_{0}$ 的值时，金属内部的总电场强度 $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}^{\prime}=0$，金属内部总电场强度为零，金属内部自由电子的定向移动停止，从而达到平衡状态，这称为静电平衡。

静电平衡性质

• 导体内部的场强处处为零
• 导体表面的场强垂直于导体表面
• 导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个等势体。导体表面成为等势面。

金属导体在静电场中达到静电平衡的条件：

• 在金属导体内部电场强度处处为零。因此导体内各点电势相等，即导体是一个等势体。
• 在金属导体的表面外侧附近空间的电场强度处处与导体表面垂直。这是因为，如果电场强度与金属导体表面不垂直的话，位于表面上的自由电子将在沿导体表面电场强度分量的作用下继续移动，使电荷在金属表面重新分布，从而影响金属导体的表面外侧附近空间的电场强度分布。电荷在金属表面的这种移动直到电场强度处处与导体表面垂直时为止。

在上述两个条件同时满足时，金属导体才能真正达到静电平衡。达到静电平衡时，导体内部是一个等势体，而导体的表面是一个等势面。

实心导体

实心导体在外电场中处于静电平衡时，因为导体内部电场强度处处为零，导体内部电荷体密度一定处处为零。实心导体的电荷只能分布在导体表面上。有如下两种情况：

• 当实心导体原来不带电时，在外电场中导体表面的感应电荷代数和为零。
• 当实心导体原来带电时，由于静电感应，在外电场中导体表面电荷会重新分布，但总电荷代数和保持不变。

如果没有外电场而实心导体带电时，由于导体上不同部分电荷间的相互作用，导体自身也会达到静电平衡。孤立实心导体的电荷也只能分布在导体的表面上，导体内部不可能有净电荷分布。

导体表面电荷分布与导体表面外侧电场间的关系为

$$\boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} \boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$$

式中 $\sigma$ 为导体表面上的电荷面密度，$\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$ 为导体表面的法线方向单位矢量，方向由导体内指向导体外。

上式给出的是导体表面某处电荷面密度 $\sigma$ 与该处导体表面外侧电场强度 $\boldsymbol{E}$ 间的关系，但这并非意味着电场强度 $\boldsymbol{E}$ 仅与该处导体表面的电荷有关，而是由导体表面上所有的电荷分布以及可能存在的外加电场共同决定的。

对于孤立导体，导体表面上电荷面密度 $\sigma$ 的大小与导体表面曲率有关。

• 在导体表面曲率为正值时，表面曲率越大面电荷密度越大，表面曲率越小面电荷密度越小。
• 在导体表面曲率为负值时，即当导体表面向导体内部凹进时，面电荷密度更小
• 当导体存在尖端时，由于尖端处的曲率很大，相应的面电荷密度也大，所以尖端处的电场很强。

导体表面面元产生场强

$$\vec{E}_{1}=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \vec{e}_{n} & \text { (内侧) } \\ \frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \vec{e}_{n} & \text { (外侧) } \end{array}\right.$$

导体其他部分在此处产生场强

$$\vec{E}_{2}=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \vec{e}_{n}$$

导体表面外侧的总场强

$$\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} \vec{e}_{n}$$

电荷元 $\sigma \mathrm{d} s$ 受到的电场力：

$$\vec{F}=\sigma \mathrm{d} s \vec{E}_{2}=\frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \mathrm{d} s \vec{e}_{n}$$

实心导体解题步骤

1. 无限大导体平板看成导体平面
2. 间距未知，高斯定理推导体平面面电荷密度的关系
3. 间距已知，高斯定理推场强
4. 导体内部场强为 0

导体空腔

导体空腔分为两种情况，即空腔内无电荷和空腔内有电荷。

当导体空腔内无电荷存在时，在静电平衡情况下，导体内部没有净电荷分布，电荷只能分布在表面，且只分布在导体空腔的外表面。这个结论无论对于孤立导体空腔还是处于外电场中的导体空腔都是成立的。

当导体空腔内有电荷存在时，在静电平衡情况下，导体内部没有净电荷分布，电荷只能分布在导体空腔内、外表面上。设导体空腔内有电荷 $q$，则导体空腔内表面带电 $-q$。如果导体空腔原带电 $Q$，由电荷守恒定律知导体外表面带电 $Q+q$。

当导体空腔处于静电平衡时，由唯一性定理可以证明：

• 导体空腔内的电场由腔内电荷 $q$ 和空腔内表面的感应电荷 $-q$ 共同决定，与空腔外表面的电荷分布以及外电场无关。腔内电场分布与腔内电荷的空间位置、腔内表面几何形状等因素有关。
• 导体空腔外部空间的电场分布由空腔外表面的电荷分布以及外加电场共同决定，与腔内电荷 $q$ 和空腔内表面的感应电荷 $-q$ 无关。

静电屏蔽

根据上述导体空腔的静电学性质，可以利用导体空腔对腔内外电场进行静电隔离，称为静电屏蔽。

• 导体空腔可起到屏蔽外电场的作用
  为了使精密仪器不受外电场的影响，可将其用导体空腔（或导体网罩）围起来。由于导体在外电场中的静电感应，导体空腔外表面会出现感应电荷，而感应电荷在腔内产生的电场与外电场的叠加恒为零，从而起到屏蔽外电场的作用。这种方法可以屏蔽外部静电场和低频电磁场。
• 接地的导体空腔可以屏蔽腔内电场对腔外空间的影响
  为了避免仪器工作时所激发的电（磁）场对周围环境产生影响，也可将其用导体空腔（或导体网罩）围起来，且需将导体空腔接地。因为接地的导体空腔电势与大地相同（都为零），则空腔外表面不能带电。同时，因为在导体空腔外部空间仪器工作时产生的电场被导体空腔内表面感应电荷产生的电场所抵消，所以接地的导体空腔可以屏蔽仪器工作时在周围空间产生的电场。

静电场中的电介质

电介质分类

物质是由分子组成的，而分子是由原子构成的。不同分子内原子的相互作用方式（化学键）不同。

• 有些电介质的分子的正负电荷中心重合，在分子层次上就不表现出极性，称为无极分子，如氯气、氧气和氢气等
• 有些电介质的分子的正负电荷中心不重合，在分子层次上表现出极性，像一个电偶极子，称为有极分子，如氯化氢、水、二氧化硫等

电介质与外加静电场的相互作用

• 对于无极分子电介质有外加静电场 $E_0$ 时，每个分子的正电荷中心与负电荷中心将在外电场方向上发生相对位移。因此，每个分子都等同于一个电偶极子，其电矩方向沿外电场 $E_0$ 方向排列。对于密度均匀的电介质，由于分子电矩分布均匀，在任何宏观体元内正、负电荷代数和为零，则介质内部无净电荷。但在电介质的界面上有没被抵消的电荷出现。这些电荷将在宏观尺度上激发电场，从而影响空间的电场分布，且在无极分子电介质中的电场要弱于外加电场。电介质在外电场中所表现出的电学行为称为介质的极化。介质处于极化状态时，介质表面出现的电荷称为极化电荷。无极分子电介质的极化现象是由于单个分子正负电荷中心发生相对位移引起的，因此上述无极分子电介质的极化称为位移极化。
• 对于有极分子电介质，有外加静电场 $E_0$ 时，每个分子的电矩都有转向 $E_0$ 方向的趋势（由于相邻分子间的相互作用，这种转向会被制约，并不能完全转向 $E_0$ 方向）。对于密度均匀的电介质，由于分子电矩分布均匀，在任何宏观体元内正、负电荷代数和为零，因此介质内部仍无净电荷出现，而在宏观体元的界面上会出现没有被抵消的电荷。因此，有极分子电介质处于极化状态时，介质中的场也会有重新分布，且在有极分子电介质中的电场也弱于外加电场。对于有极分子电介质，因为极化是由于单个分子电矩发生转向引起的，则有极分子电介质的极化称为转向极化。很显然，外电场越强，单个分子电矩转向越明显，分子电矩的排列就越整齐，在宏观尺度上介质极化程度就越强。
• 在电介质的内部，平均说来每一个分子的电荷被相邻分子的电荷都抵消了，整个电介质的内部平均的极化电荷为零。
• 但是，在电介质的表面，每一个分子的电荷没有被相邻分子的电荷都抵消了，电介质的表面的极化电荷不为零。
• 在外电场的作用下，电介质响应外电场而在介质表面出现电荷积累的现象称为电介质的极化。

极化电荷与自由电荷的区别

• 极化电荷是束缚在晶格上的分子中的电子在外电场作用下做微小位移，或整个分子做旋转所引起的，它的活动范围不能超出分子的线度。
• 极化电荷总是牢固地束缚在介质上，既不能从介质的一处转移到另一处，也不能从一个物体运动到另一个物体。
• 若使电介质与导体接触，极化电荷不会与导体上的自由电荷相中和。
• 自由电荷指的是由于原子或分子的电离产生的离子或金属中的自由电子，在外电场作用下它可以在整个物体内运动，也可以从一个物体运动到另一个物体。
• 自由电荷可以被中和。

极化强度

无外加电场时，任意宏观体元 $\Delta V$ 内电介质分子电矩的矢量和为零，即 $\sum_{\Delta V} \boldsymbol{p}_{i}=0$，其中 $\boldsymbol{p}_{i}$ 代表 $\Delta V$ 内第 $i$ 个分子的电矩。而有外加电场时，$\sum_{\Delta V} \boldsymbol{p}_{i} \neq 0$，且外加电场越强，介质极化程度越大，即 $\sum_{\Delta V} \boldsymbol{p}_{i}$ 的值越大。为了定量描写电介质的极化程度，引入与宏观体元大小无关的极化强度矢量

$$\boldsymbol{P}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\sum_{\Delta V} \boldsymbol{p}_{i}}{\Delta V}$$

其中体元 $\Delta V$ 宏观上足够小，微观上足够大；在国际单位制中，极化强度的单位是 $\mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}$。

极化率

对于各向同性的电介质，当外加电场不太强时，介质内任意点的极化强度与该点的总电场强度 $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}^{\prime}$ 成正比，其中 $\boldsymbol{E}_{0}$ 为外加电场强度，$\boldsymbol{E}^{\prime}$ 为介质极化所产生的附加电场强度，则

$$\boldsymbol{P}=\chi_{e} \varepsilon_{0} \boldsymbol{E}$$

式中 $\chi_{\mathrm{e}}$ 称为介质的极化率。当介质为各向同性的均匀介质时，极化率 $\chi_{\mathrm{e}}$ 为无量纲的常数值，与介质中的电场强度无关，与空间点无关。

极化电荷面密度

面元 $\Delta S$ 处的极化电荷的面密度

$$\sigma^{\prime}=P \cos \theta=\boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$$

即 $\sigma^{\prime}=P_{\mathrm{n}}$，则介质表面极化电荷面密度 $\sigma^{\prime}$ 由相应的极化强度 $\boldsymbol{P}$ 在介质表面法线上的分量决定。

介质中静电场的环流定理

由于电介质在外电场中的极化行为，介质中的电场包括外加电场 $E_0$ 和极化电荷的电场 $\boldsymbol{E}^{\prime}$ 两部分，即

$$\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}^{\prime}$$

当外加电场是静电场时，介质的极化是稳态的，对应的极化电荷可以看作是静止电荷，由其产生的电场也可以看作静电场。因此，外加电场和极化电荷的场都满足静电场的环流定理，即

$$\oint_{l} \boldsymbol{E}_{0} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$$

和

$$\oint_{l} \boldsymbol{E}^{\prime} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$$

则介质中总的电场满足

$$\oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$$

这就是介质中静电场的环流定理。因此，介质中的静电场也是保守力场，仍可以用电势的概念来描述介质中的静电场。

介质中静电场的高斯定理

定义电位移矢量

$$\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$$

则

$$\oiint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\sum_{S \mathrm{内}} q_{0}$$

上式称为介质中静电场的高斯定理。文字表述：电位移矢量通过任意封闭曲面 $S$ 的通量等于该封闭曲面所包围的自由电荷的代数和。

• 电位移矢量 $\boldsymbol{D}$ 对封闭曲面 $S$ 的通量仅与封闭曲面 $S$ 内的自由电荷有关。
• 电位移矢量并不仅仅由空间自由电荷分布决定，它还与外加电场 $\boldsymbol{E}_{0}$ 和介质的极化电荷有关。（若分布具有对称性，则电位移矢量与极化电荷无关）
• 描述介质中静电场的基本物理量还是电场强度 $\boldsymbol{E}$ 或电势 $U$。电位移矢量仅是描述介质中电场性质的一个辅助量，其本身并没有物理意义。
• 对于各向同性的介质，当外电场不太强时，极化强度 $\boldsymbol{P}=\chi_{\mathrm{e}} \varepsilon_{0} \boldsymbol{E}$。代入电位移矢量的定义式 $\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$，得 $$\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0}\left(1+\chi_{\mathrm{e}}\right) \boldsymbol{E}=\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} \boldsymbol{E}=\varepsilon \boldsymbol{E}$$
  • $\varepsilon_{\mathrm{r}}=1+\chi_{\mathrm{e}}$，$\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 称为介质的相对介电常数，是无量纲的物理量。
  • $\varepsilon=\varepsilon_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}}$，$\varepsilon$ 称为电介质的介电常数。$\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 之所以称为相对介电常数，实际上是描述介质相对于真空的介电性质，介质的介电常数是真空介电常数的 $\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 倍。
  • 上式对于永久极化的驻极体来讲是不成立的

根据介质中的高斯定理求空间电场分布

当空间自由电荷和介质的空间分布具有相同的高度对称性时，我们可以根据介质中的高斯定理来求得空间总的电场分布。方法如下：

• 根据自由电荷分布和电介质空间分布对称性推知电场的电位移矢量空间分布的对称性。
• 根据电场的对称性选取与该对称性相匹配的高斯面。
• 根据介质中的高斯定理得到电位移矢量的空间分布。
• 利用公式 $\boldsymbol{D}=\varepsilon \boldsymbol{E}$ 得到空间电场的电场强度分布。

介质交界面两侧电场的关系

$$\begin{array}{l} D_{1 \mathrm{n}}=D_{2 \mathrm{n}} \\ E_{1 \mathrm{t}}=E_{2 \mathrm{t}} \end{array}$$

在介质两侧的

• 电位移矢量在界面法线方向的分量连续
• 电位移矢量在界面切线方向的分量不连续
• 电场强度矢量在界面切线方向的分量连续
• 电场强度矢量在界面法线方向的分量不连续

孤立导体的电容

不同形状和大小的导体的容电本领是不同的。孤立导体的容电能力称为孤立导体的电容，用 $C$ 来表示，即

$$C=\frac{q}{V}$$

孤立导体的电容不仅与其几何形状和大小有关，还与其周围的介质分布有关，但与其带电量无关。在国际单位制中，电容的单位是库仑/伏特（$C/V$），称为法拉，用 $F$ 表示。

• 法拉是一个很大的单位，很多情况下会用更小的单位来度量电容，如微法（$1 \mu \mathrm{F}=10^{-6} \mathrm{F}$）或皮法（$1 \mathrm{pF}=10^{-12} \mathrm{F}$）
• 孤立导体的电容是很小的。要想增大导体的电容，通常采取导体组合的方式，即电容器。
• 真空中孤立导体球的电容 $C=4\pi\varepsilon_0 R$

电容器

最简单的电容器是由两个导体组成的导体组。若电容器中 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 两导体带等量异号电荷 $\pm q$，理论和实验结果都证明两导体间的电势差 $\Delta V=V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{B}}$ 与电容器带电量成正比。因此，我们可以定义电容器的电容为

$$C=\frac{q}{\Delta V}$$

式中 $q$ 为每个导体带电量大小，$\Delta V$ 为两个导体电势差的大小，则由此定义的电容器的电容总是正值。电容器的电容反映电容器储存电荷的能力，与导体带电量无关。

平行板电容器

有两块面积均为 $S$ 且相互平行的导体平板 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$，两极板的间距为 $d$，组成平行板电容器。为了忽略边缘效应，设两极板线度远大于两极板间的距离。设两极板带电量分别为 $+q$ 和 $-q$，两极板间的场强为

$$E=\frac{(q / S)}{\varepsilon_{0}}=\frac{q}{\varepsilon_{0} S}$$

两极板间的电势差为

$$\Delta V=E d=\frac{q d}{\varepsilon_{0} S}$$

则平行板电容器的电容为

$$C=\frac{q}{\Delta V}=\frac{\varepsilon_{0} S}{d}$$

球形电容器

由半径分别为 $R_{\mathrm{A}}$ 和 $R_{\mathrm{B}}$ 的两个同心球壳组成的球形电容器。内球壳带电 $+q$，外球壳带电 $-q$，球壳间充满介电常数为 $\varepsilon$ 的电介质。根据对称性知：电荷在球面上均匀分布，两球壳之间的电场强度为

$$\boldsymbol{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon r^{3}} \boldsymbol{r}$$

式中 $r$ 为场点相对于球心的位置矢量，则两球壳间的电势差为

$$\Delta V=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{R_{\mathrm{A}}}^{R_{\mathrm{B}}} \frac{q \mathrm{~d} r}{4 \pi \varepsilon r^{2}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon}\left(\frac{1}{R_{\mathrm{A}}}-\frac{1}{R_{\mathrm{B}}}\right)$$

由此可得球形电容器的电容为

$$C=\frac{q}{\Delta V}=4 \pi \varepsilon \frac{R_{\mathrm{A}} R_{\mathrm{B}}}{R_{\mathrm{B}}-R_{\mathrm{A}}}$$

因此，球形电容器的电容与两个球壳的大小、间距以及极板间介质性质都有关。

柱形电容器

由两个长为 $l$，半径分别为 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 的长直同轴导体圆筒组成的圆柱形电容器，两导体筒间为真空。设内、外筒带电量分别为 $+q$ 和 $-q$，当 $l>>R_{1}\left(R_{2}\right)$ 时，两导体圆筒间的电场可近似地看作柱对称的，场强为 $\boldsymbol{E}=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \boldsymbol{r}$，而两圆筒间的电势差

$$\Delta V=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \frac{q / l}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{q / l}{2 \pi \varepsilon_{0} r} \mathrm{~d} r=\frac{q}{2 \pi l \varepsilon_{0}} \ln \frac{R_{2}}{R_{1}}$$

圆柱形电容器的电容

$$C=\frac{q}{\Delta V}=\frac{2 \pi l \varepsilon_{0}}{\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}}$$

电容器的连接

• 当多个电容器串联时，各电容器上的带电量相同，串联电容器上的总电势差等于各个电容器上的电势差之和。由此可得串联电容器的总电容和各个电容器电容的关系：串联电容器总电容的倒数等于各个电容器电容的倒数之和。 $$\frac{1}{C}=\frac{\Delta V}{q}=\sum_{i} \frac{\Delta V_{i}}{q_{i}}=\sum_{i} \frac{1}{C_{i}}$$
• 当多个电容器并联时，各电容器上的电势差相同，并联电容器上的带电量等于各个电容器上的带电量之和。由此可得并联电容器的总电容和各个电容器电容的关系：并联电容器总电容等于各个电容器电容之和。 $$C=\frac{q}{\Delta V}=\sum_{i} \frac{q_{i}}{\Delta V_{i}}=\sum_{i} C_{i}$$ 因此，要想增加电容器的储电能力，可以采用把多个电容器并联的方式。

带电体系的静电能

当点电荷 $q_{1}$ 处于点电荷 $q_{2}$ 的静电场中，距离为 $r$，静电相互作用能为

$$\begin{align} W_{\mathrm{e}} & = \int_{\infty}^{P}-q_{1}\left(\frac{q_2 \boldsymbol{r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}\\ &=q_{1} V_1\\ &= \frac{1}{2}(q_1V_1+q_2V_2)\\ &=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\\ \end{align}$$

• “系统”的静电能在数值上等于把 $q_{0}$ 从 $P$ 点移到无限远时静电场力所做的功。
• “系统”的静电能在数值上也等于把 $q_{0}$ 从无限远点移到 $P$ 点时外力反抗静电场力所做的功。
• 点电荷系统的静电相互作用能在数值上等于把点电荷体系无限分离到彼此间相距无限远的过程中静电场力做的功。
• 对连续带电体的情况，可以把连续带电体看成是由无限多个电荷元组成的点电荷系。

点电荷系的静电能量

对于 $n$ 个点电荷组成的系统，总的静电相互作用能可以看成是系统内任意两个点电荷组成的各个子系统的静电相互作用能的和

$$W_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2} \sum_{i}^{n} q_{i} V_{i}$$

式中 $V_{i}$ 为点电荷系中除了 $q_{i}$ 外所有其他 $n-1$ 个点电荷的总静电场在 $q_{i}$ 处的电势。

• 点电荷系的静电能是指点电荷间的静电相互作用能量之和，称为点电荷系的“互能”。互能可能为正值也可能为负值，由系统具体构成决定。

连续分布电荷系统的静电能

关于点电荷系的静电相互作用能可以推广到连续分布电荷系统，即把连续分布带电体看成是由无穷多个点电荷组成的点电荷系，则连续分布带电体的静电相互作用能为

$$W_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2} \int V \mathrm{~d} q$$

• 积分包括连续带电体的所有空间分布。
• 计算时，可以把 $V$ 看作为所有电荷的静电场在 $\mathrm{d} q$ 处的电势（误差是 $\mathrm{d} q$ 的二阶小量，积分后是一阶小量，可以忽略）
• 根据电荷分布是体分布、面分布或线分布等具体情况，可以把带电体切割成体电荷元、面电荷元或线电荷元。
• 单个连续带电体的总静电能习惯上称为“自能”。数值上它等于将该带电体上各个部分的电荷分散到无限远的状态时，电场力所做的总功。可以证明，单个连续带电体的自能一定大于零。
• 多个连续带电体系统的静电能等于各个连续带电体的“自能”和各个连续带电体之间的“互能”之总和。

带电电容器的静电能

电容器带电时，可以看作为连续带电体系统。设电容器的 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 两个极板分别带电 $+Q$ 和 $-Q$，两极板的电势分别为 $V_{+}$ 和 $V_{-}$，两极板的电势差为 $\Delta V=V_{+}-V_{-}$。带电电容器的静电能

$$W_e=\frac{1}{2}Q\Delta V=\frac{1}{2}C(\Delta V)^2=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2}(S d)$$

静电场的能量

匀强电场能量密度（单位体积中静电场的能量）

$$w_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2}=\frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}$$

非匀强电场在电场存在的空间区域 $Q$ 内总的静电场能量

$$W_{\mathrm{e}}=\iiint_{\Omega} w_{\mathrm{e}} \mathrm{d} V=\frac{1}{2} \iiint_{\Omega} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} \mathrm{d} V=\frac{1}{2} \iiint_{\Omega} \varepsilon E^{2} \mathrm{~d} V$$

第十三章 电流与磁场

电流与电源

在静电场中的导体内部电场强度为零，导体内的自由电子不受电场的作用，因此导体内的自由电子只有无规则的热运动。然而，如果在导体内部维持一个电场强度不为零的电场，导体内的自由电子将在电场的作用下定向运动，但考虑到自由电子的无规则热运动，电子的定向运动实际上是电子在电场强度的反方向上有统计意义的平均漂移，简称为定向漂移运动。这种定向漂移运动的宏观效果就是在导体内产生电流。

如上分析，导体内出现电流的前提是在导体内有电场，而非零静电场是不能存在于导体内部的。当导体内的电流不随时间变化时，称为稳恒电流。稳恒电流的前提是导体内有不随时间变化的稳恒电场。当在导体两端维持一个恒定的电势差时，导体内部就会出现相应的稳恒电场，导体内就会有稳恒电流出现。因此说，稳恒电流的前提是导体内有稳恒电场。除此之外，必须有包括导体在内的闭合回路时，导体内才可能有真正的稳恒电流存在。这是因为，电子在稳恒电场中的运动是从电势低的地方到电势高的地方。如果没有闭合回路，电子会在导体电势高的一端形成积累，而另一端由于电子缺乏而等效地出现正电荷积累。这样，导体两端的电荷积累在导体内产生的电场与稳恒电场方向相反，使得导体内部的总电场越来越弱，电子的运动就不可能稳定，则电流就不可能不变。因此，要在导体内部维持稳恒电流，就必须消除导体两端的电荷积累，通过外力再把电子从电势高的地方移动到电势低的地方。稳恒电场担当不了这个角色，闭合回路中担当这个角色的装置称为电源。

实际上，电源除了能够把电子从电势高的地方移动到电势低的地方外，还可以间接地起到维持导体两端电势差的作用。另外，因为稳恒电场和静电场都不能把电子从电势高的地方移动到电势低的地方，电源中需要有非静电力的作用力作用在电子上。这种力可以是机械的、化学的或磁的作用力。现实的电源有干电池、蓄电池、太阳能电池、燃料电池和发电机等，其中的非静电力也各不相同。

电源在把电子从电势高的地方移动到电势低的地方的过程中要反抗电场力做功，因此电源还是提供能量的装置。描述电源内非静电力做功本领的物理量称为电源电动势。设作用在载流子（如导体中的电子）上的非静电力为 $\boldsymbol{F}_\mathrm{k}$，则单位正电荷受的力称为非静电力场强度 $\boldsymbol{E}_\mathrm{k}$，为

$$\boldsymbol{E}_{\mathrm{k}}=\frac{\boldsymbol{F}_{\mathrm{k}}}{q}$$

式中 $q$ 为载流子带电量，电源的电动势定义为

$$\mathscr{E}=\int_{-}^{+} \boldsymbol{E}_{\mathrm{k}} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$$

式中积分上下限的正、负号代表电源的正、负极。则电源电动势的大小就是将单位正电荷从电源负极移到正极过程中电源中非静电力所做的功。规定电动势的正方向为自负极经电源内部指向正极的方向。

如果闭合回路中有多个电源存在，或非静电力存在于整个导体回路中（如电磁感应中的情况），回路中的总电动势可以用单位正电荷受力对这个闭合回路 $l$ 的积分来表示，即

$$\mathscr{E}=\oint_{l} \boldsymbol{E}_{\mathrm{k}} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$$

若在一段回路中对应的非静电力与回路方向相反，该段回路中非静电力对回路总电动势的贡献为负。

电流强度

通常用电流强度 $I$ 来描述导体中电流的强弱，即单位时间通过导体截面的电量称为导体内的电流强度，并规定正电荷的运动方向为电流的方向。若 $\mathrm{d} t$ 时间内，由于载流子的定向漂移，通过导体截面的电量为 $\mathrm{d} q$，则导体内的电流强度为

$$I=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}$$

电流强度的单位为安培（$A$）。对于稳恒电流，其电流强度与时间无关。

• 电流强度只能反映通过导体某截面电流总的强弱，但它并不能反映导体内各点电流的空间分布情况，包括电流的方向（或载流子运动方向）。

电流密度

对于大块导体，引入电流密度 $j$ 这个物理量来描述电流的空间分布性质。要能反映电流的空间分布性质，电流密度必须是一个矢量，其方向平行于相应空间点稳恒电场的方向。同时，电流密度必须是空间位置的函数，在直角坐标系中可表示为 $\boldsymbol{j}=\boldsymbol{j}(x,y,z)$。导体内某空间点的电流密度的大小定义为单位时间内通过相应空间点附近垂直于电场方向的单位截面的电量，即

$$j=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t \mathrm{d} S_{\perp}}=\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} S_{\perp}}$$

式中 $\mathrm{d} I=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}$ 为通过垂直截面 $\mathrm{d} S_{\perp}$ 的电流强度，如图 $13-2$ 所示。电流密度的单位是 $\mathrm{A} \cdot \mathrm{m}^{-2}$。考虑到电流的方向，电流密度矢量定义为

$$\boldsymbol{j}=\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} S_{\perp}} \boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$$

式中 $\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$ 为垂直于电场方向的截面 $\mathrm{d} S_{\perp}$ 的法线方向，也是相应空间点处电场强度的方向。电流密度可以精确地描述导体中各空间点的电流分布。

电流强度与电流密度的关系

如果导体内部的电流密度矢量已知，则通过任意面元 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 的电流强度为

$$\mathrm{d} I=j \mathrm{d} S \cos \theta=\boldsymbol{j} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

式中 $\theta$ 为 $\mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 与电流密度 $\boldsymbol{j}$ 间的夹角。由此，可以知道通过导体中任意曲面 $S$ 的电流强度 $I$，即

$$I=\iint_{S} \boldsymbol{j} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

这说明通过导体中任意曲面 $S$ 的电流强度 $I$ 等于电流密度 $\boldsymbol{j}$ 相对于该曲面的通量。照此理解，通过导体中任意曲面 $S$ 的电流强度 $I$ 可以取正值，也可以取负值。具体情况与曲面 $S$ 的法线方向的选择有关。

电流连续性方程

在电流场内取一闭合面 S，当有电荷从 S 面流入和流出时，则 S 面内的电荷相应发生变化。由电荷守恒定律，单位时间内由 S 流出的净电量应等于 S 内电量的减少。

$$\oiint_{\mathrm{S}} \vec{j} \cdot \mathrm{d} \vec{S}=-\frac{\mathrm{d} q_{S 内}}{\mathrm{d} t}$$

• 微分形式： $$\nabla \boldsymbol{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$
• 稳恒电流条件： $$\oiint_{\mathrm{S}} =0$$

电流密度矢量与载流子的平均漂移速度

设导体中每个载流子电量为 $q$，数密度为 $n$，平均漂移速度为 $v_{\mathrm{d}}$，则电流密度大小为

$$j=n q \boldsymbol{v}_{\mathrm{d}}$$

由此可见，对于金属导体，因为 $q=-|e|<0$，电流密度 $\boldsymbol{j}$ 与电子的平均漂移速度 $v_{\mathrm{d}}$ 的方向相反。

欧姆定律的微分形式

$$\boldsymbol{j}=\frac{n e^{2} \tau}{2 m} \boldsymbol{E}=\gamma \boldsymbol{E}$$

式中 $\gamma=\frac{n e^{2} \tau}{2 m}$ 称为导体的电导率。
横截面面积为 $S$，长度为 $L$ 的均匀导体的电阻正比于长度，反比于横截面面积和电导率

$$R=\frac{1}{\gamma} \frac{L}{S}$$

磁感应强度

定义

规定磁场磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 的方向为磁场中各空间点处小磁针 $\mathrm{N}$ 极的指向，设磁场中运动电荷运动速度 $v$，受力的大小 $|\boldsymbol{F}|$，$\theta$ 为电荷运动方向与磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 的夹角。定义磁场的磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 的大小

$$B=\frac{|\boldsymbol{F}|}{|q| v \sin \theta}$$

磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 的单位称为特斯拉（Tesla），用 $\mathrm{T}$ 表示。特斯拉是导出单位，即 $1 \mathrm{T}=1 \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} /(\mathrm{C} \cdot \mathrm{m})$。实际中通常还会用到另外一个单位，即高斯（$\mathrm{G}$），$1 \mathrm{G}=1 \times 10^{-4} \mathrm{T}$。地球表面附近的磁场磁感应强度大约为 $0.5 \mathrm{G}$。

洛伦兹公式

按照上述讨论，当带电粒子 $q$ 在磁场 $\boldsymbol{B}$ 中运动时受到的磁作用力为

$$\boldsymbol{F}=q \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$

方向可由右手螺旋法则判定。
上式称为洛伦兹磁力公式。

磁感应强度线与磁通量

为了形象化地理解矢量场，通常借助场的可视化方法来描述场。对于磁场，可以用磁感应强度线（简称磁力线）来描述磁场的分布。与电场线的引入方法类似，磁感应强度线上任一点的切线方向和该点处的磁感应强度方向相同，并在线上用箭头标出，而空间某点处通过与磁感应强度垂直的单位面积的磁力线的根数（穿入为负，穿出为正）正比于该处磁感应强度的大小。

通过任意曲面 $S$ 的磁通量为

$$\Phi_{\mathrm{m}}=\iint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

在国际单位制中，磁通量的单位为导出单位 $\mathrm{T} \cdot \mathrm{m}^{2}$，称为韦伯，用 $\mathrm{Wb}$ 表示。

毕奥-萨伐尔定律

结论

任意线电流分布 $L$ 在空间 $P$ 点处的磁感应强度为

$$\boldsymbol{B}=\int \mathrm{d} \boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{L} \frac{I \mathrm{~d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{r}}{r^{3}}$$

式中 $k_{\mathrm{m}}$ 为比例系数，与空间介质的磁性质有关。在国际单位制中，对于真空来讲，通常取比例系数 $k_{\mathrm{m}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}=1 \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{A}$，其中 $\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{A}$ 称为真空磁导率。

推导

可以把任意线电流看作为无穷多个线度趋于零的电流元 $I\mathrm{d}\boldsymbol{l}$。给定分布的线电流的磁场可以看作为无限多个电流元产生的磁场的叠加。
所谓电流元 $I \mathrm{d} \boldsymbol{l}$，其中 $I$ 表示线电流的电流强度，$\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 的大小是指电流元所对应的载流导线的长度，其方向与导线中电流密度 $j$ 的方向相同。设导体横截面积为 $S$，已知电流密度 $\boldsymbol{j}=n q \boldsymbol{v}_{\mathrm{d}}$，则电流元 $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ 可以作如下理解：

$$I \mathrm{d} \boldsymbol{l}=S\left(n q v_{\mathrm{d}}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{l}=S\left(n q \boldsymbol{v}_{\mathrm{d}}\right) \mathrm{d} l=n(S \mathrm{~d} l) q \boldsymbol{v}_{\mathrm{d}}=\mathrm{d} q \boldsymbol{v}_{\mathrm{d}}$$

则电流元 $I \mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 实际上是一个运动速度为 $\boldsymbol{v}_{\mathrm{d}}$ 的电荷元 $\mathrm{d} q$。因此，电流产生的磁场实际上可以看成是相应的无穷多个运动的电荷元产生的磁场的叠加。
电流元产生磁场的规律是从实验中总结出来的，称为毕奥-萨伐尔定律。实验表明，电流元 $I \mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 在空间点 $P$ 处产生的磁场的磁感应强度 $\mathrm{d} \boldsymbol{B}$ 的大小正比于电流元的大小，反比于电流元 $I \mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 到 $P$ 点距离 $r$ 的平方，且与空间 $P$ 点相对于电流元 $I \mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 的位置矢量 $\boldsymbol{r}$ 和电流 $I \mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 间的夹角 $\theta$ 的正弦成正比，即

$$\mathrm{d} B=k_{\mathrm{m}} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^{2}}$$

式中 $k_{\mathrm{m}}$ 为比例系数，与空间介质的磁性质有关。在国际单位制中，对于真空来讲，通常取比例系数 $k_{\mathrm{m}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}=1 \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{A}$，其中 $\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{A}$ 称为真空磁导率。
实验还表明：$P$ 点处的磁场 $\mathrm{d} \boldsymbol{B}$ 的方向垂直于 $I \mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 与 $\boldsymbol{r}$ 构成的平面，即 $\mathrm{d} \boldsymbol{B}$ 的方向总平行于 $\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{r}$ 的方向。因此，上式可改写为

$$\mathrm{d} \boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{r}}{r^{3}}$$

任意线电流分布 $L$ 在空间 $P$ 点处的磁感应强度为

$$\boldsymbol{B}=\int \mathrm{d} \boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{L} \frac{I \mathrm{~d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{r}}{r^{3}}$$

• 利用毕奥-萨伐尔定律，我们可以计算出任意的电流分布在空间产生磁场的磁感应强度的分布。

常见线电流分布的空间磁场

直线电流

$$B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi d}\left(\cos \theta_{1}-\cos \theta_{2}\right)$$

对于无限长的载流直导线，即 $\theta_{1} \rightarrow 0$，$\theta_{2} \rightarrow \pi$，得

$$B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi d}$$

• 磁感应强度的方向与直电流的方向满足右手螺旋关系，即右手大拇指的方向指向电流 $I$ 的方向，右手四指自然弯曲时的指向为磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 的方向。

电流 $I$ 均匀流过一半径为 $R$ 的无限长半圆柱面，轴线上一点

$$B_{y}=\int d B_{y}=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mu_{0} I d \theta}{2 \pi^{2} R} \cos \theta=-\frac{\mu_{0} I}{\pi^{2} R}$$

方向沿半圆弧中心

柱电流

无限长均匀载流圆柱体横截面的半径为 $R$，电流为 $I$，

• 内部的磁场分布为 $$B(r)=\frac{\mu_{0} I r}{2 \pi R^{2}} \quad(r<R)$$
• 外部的磁场分布为 $$B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \quad(r>R)$$

面电流

宽为 $a$ 的无限长平面，单位宽度流过电流 $\alpha$，平面中心线上方距离 $d$ 处任一点的磁感应强度

$$B=\frac{\mu_{0} \alpha}{\pi} \arctan \frac{a}{2 d}$$

当 $a\to +\infty$，即无限大平面

$$B=\frac{\mu_0 \alpha}{2}$$

宽为 $a$ 的无限长平面，均匀流过电流 $I$，平面外与平面共面、离平面边缘为 $b$ 的点 P 的磁感应强度

$$B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a} \ln \frac{a+b}{b}$$

厚度为 $d$ 的无限大均匀载流平板，流过单位横截面面积的电流为 $j$，板内

$$B=\mu_0 j y$$

板外

$$B=\frac{\mu_0}{2}jd$$

若外磁场强度为 $B_0$，磁压强为

$$p=j B_0$$

圆电流

圆电流半径为 $R$，电流为 $I$

$$B=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}$$

在圆电流中心 $O$ 处，$z=0$，磁感应强度大小为

$$B_{O}=\frac{\mu_{0} I}{2 R}$$

如果 $P$ 远离圆电流中心，即 $z \gg R$，磁感应强度大小为

$$B_{P} \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2 z^{3}}=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I S}{z^{3}}$$

式中 $S=\pi R^{2}$ 为圆电流所围面积。

一段圆弧在圆心处产生的磁感应强度

$$B=\int d B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I}{R^{2}} \int d l=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I L}{R^{2}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I}{R}\theta$$

螺线管电流

$$B=\frac{\mu_{0} n I}{2}\left(\cos \beta_{2}-\cos \beta_{1}\right)$$

螺旋线被限制在半径为 $R_1$ 和 $R_2$ 的两圆之间，共 $N$ 圈。在平面螺旋线中，流过一强度为 $I$ 的电流，求磁偶极矩及在螺旋线中心 $O$ 处的磁感强度

$$m=\int_{R_{1}}^{R_{2}} \pi r^{2} \frac{N I}{R_{2}-R_{1}} d r=\frac{\pi}{3} \frac{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}}{R_{2}-R_{1}} N I$$ $$B_{0}=\int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{\mu_{0} N I}{2\left(R_{2}-R_{1}\right)} \frac{d r}{r}=\frac{\mu_{0} N I}{2\left(R_{2}-R_{1}\right)} \ln \frac{R_{2}}{R_{1}}$$

磁偶极矩

把载流圆线圈称为磁偶极子，$\boldsymbol{m}$ 称为载流圆线圈的磁偶极矩，简称为磁矩。令 $\boldsymbol{m}=I S \boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$，$\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$ 为圆电流平面的法线方向单位矢量，$\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$ 的方向与电流流向呈右手螺旋关系。磁矩大小等于电流强度 $I$ 与线圈所围的面积 $S$ 的乘积，即 $m=I S$。如果线圈有 $N$ 匝，则 $m=N I S$。因此，圆电流可记为如下矢量式

$$\boldsymbol{B}_{P}=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{\boldsymbol{m}}{z^{3}}$$

旋转电荷产生的磁场

矢量式（通用）

$$\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{r}}{r^{3}}$$

点电荷旋转

$$I=\frac{q}{T}=\frac{\omega q}{2\pi}$$ $$B=\frac{\mu_0 I}{2R}=\frac{\mu_0 \omega q}{4\pi R}$$ $$m=IS=\frac{\omega qS}{2\pi}$$

线电荷旋转

均匀带电细导线AB，长为 $b$，电荷线密度为 $\lambda$，绕 O 轴以 $\omega$ 作匀速转动。假设 $|AO|=a$

$$\begin{array}{l} \mathrm{d} q=\lambda \mathrm{d} r \\ \mathrm{d} I=\frac{d q}{T}=\frac{\omega}{2 \pi} \cdot \mathrm{d} q \\ \mathrm{d} B=\frac{\mu_{0} \mathrm{d} I}{2 r}=\frac{\mu_{0}}{2 r} \frac{\lambda \omega}{2 \pi} \mathrm{d} r \\ B=\int_{L}^{a} d B=\int_{a}^{a+b} \frac{\mu_{0} \lambda \omega}{4 \pi} \frac{\mathrm{d} r}{r}=\frac{\mu_{0} \lambda \omega}{4 \pi} \ln \frac{a+b}{a} \end{array}$$ $$m=\int_{a}^{a+b} \pi r^{2} \frac{\omega}{2 \pi} \lambda d r=\frac{\omega \lambda}{6}\left[(a+b)^{3}-a^{3}\right]$$

面电荷旋转

塑料薄圆盘半径 $R$，均匀带电 $q$，以角速度 $\omega$ 绕过圆心垂直于盘面的对称轴匀速旋转，圆心处

$$B=\int d B=\frac{\mu_{0} \omega \sigma}{2} \int_{0}^{R} d r=\frac{1}{2} \mu_{0} \sigma \omega R=\frac{\mu_{0} \omega q}{2 \pi R}$$ $$m=\int d m=\int_{0}^{R} \pi r^{2} \omega \sigma r d r=\frac{1}{4} \omega q R^{2}$$

其他复杂系统

长度为 $L$、半径为 $R$ 的均匀带电 $Q$ 的长圆柱面，绕其对称轴以角速度 $\omega$ 匀速转动，对称轴上圆柱面中部附近

$$B=\mu_0\frac{Q\omega}{2\pi L}$$

两端

$$B=\mu_0\frac{Q\omega}{4\pi L}$$

外部没有磁场

半径为 $R$ 的均匀带电 $q$ 的球面，球绕其直径以角速度 $\omega$ 匀速转动，球心处的磁感应强度

$$B_{O}=\frac{2}{3}\mu_0\omega\sigma R=\frac{1}{6 \pi R} \mu_{0} q \omega$$

磁偶极矩

$$m=\frac{4}{3}\pi\omega\sigma R^4=\frac{1}{3}\omega qR^2$$

与球心处的磁感应强度的关系

$$B_{O}=\frac{\mu_{0}}{2 \pi R^{3}} m$$

长度为 $L$、半径为 $R$ 的均匀带电 $Q$ 的长圆柱（$L\gg R$），绕其对称轴以角速度 $\omega$ 匀速转动，求圆柱中部附近的磁感应强度

$$B=\mu_{0} \frac{Q}{\pi R^{2} L} \pi\left(R^{2}-r^{2}\right) \frac{\omega}{2 \pi}$$

对称轴上圆柱两端的磁感应强度

$$B=\frac{1}{2}\mu_{0} \frac{Q}{\pi R^{2} L} \pi R^{2} \frac{\omega}{2 \pi}$$

磁场的高斯定理

对于任意封闭曲面，一般规定从封闭曲面内向外的法线方向为该封闭曲面法线的正方向。
高斯定理：对于任意电流分布的磁场，总可以看成为无穷多个电流元磁场的矢量叠加。由于每个电流元所产生的磁场对任意封闭曲面的磁通量为零，则任意电流分布的磁场对任意封闭曲面S的磁通量也一定为零

$$\oiint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0$$

安倍环路定理

闭合回路 $l$ 包围单个无限长直电流 $I$

设回路的方向与电流满足右手螺旋关系，则无限长直电流对闭合回路的环流为

$$\oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\oint_{l} \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I}{r} r \mathrm{d} \varphi=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi} \oint_{l} \mathrm{d} \varphi=\mu_{0} I$$

闭合回路 $l$ 不包围单个无限长直电流 $I$

无限长直电流的磁场磁感应强度对不包围直电流的闭合回路的环流总为零，且与回路的绕向无关。（如果回路 $l$ 不在垂直于无限长直电流的平面内，仍然成立）

安倍环路定理

$$\oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\oint_{l}\left(\sum_{i} \boldsymbol{B}_{i}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\sum_{i}\left(\oint_{l} \boldsymbol{B}_{i} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}\right)=\mu_{0} \sum I$$

式中 $\sum I$ 表示对穿过回路 $l$ 的电流求代数和，每个直电流的贡献

$$\oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\left\{ \begin{array}{l} \mu_{0} I ,&满足右手螺旋\\ -\mu_{0} I ,&不满足右手螺旋\\ 0,&回路l不包围电流I \end{array}\right.$$

• 虽然上式是对无限长直电流的情况而推导的结果，但对任意电流分布产生的磁场照样适用。
• 上式表示空间磁场的对闭合回路环流性质与激发磁场的电流间存在的普遍规律，称为安培环路定理。
• 磁场磁感应强度对任意闭合回路的环流只与穿过该闭合回路的电流有关，但是上式中的磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 是整个空间所有电流分布产生的磁场。
• 与静电场不同，因为磁感应强度对任意回路的环流不恒等于零，说明磁场是有旋场。
• 上式仅适用于由稳恒电流产生的稳恒磁场情况

安培力公式

对于处于磁场 $\boldsymbol{B}$ 中的任意电流分布，总可以把它看成无穷多个电流元的集合，每个电流元都会受到磁场的作用力。

$$\boldsymbol{F}=\int \mathrm{d} \boldsymbol{F}=\int_{L} I \mathrm{~d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$$

• 若已知电流起点 $S$ 和终点 $D$，则 $$\boldsymbol{F}=\int \mathrm{d} \boldsymbol{F}=I\ \overrightarrow{SD} \times \boldsymbol{B}$$
• 显然，在均匀磁场中，任一闭合载流曲线受力为零
• 无限长直导线相互作用力（电流同向相吸，异向相斥） $$\frac{\mathrm{d} F_{1}}{\mathrm{d} l_{1}}=\frac{\mathrm{d} F_{2}}{\mathrm{d} l_{2}}=\frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi a}$$

安培力做功

安培力所做的功等于回路中的电流强度乘以通过回路磁通量的增量

$$A=F \Delta x=B I l \Delta x=B I \Delta S=I \Delta \Phi_{\mathrm{m}}$$

• 式中 $\Delta \Phi_{\mathrm{m}}=\Phi_{\mathrm{mf}}-\Phi_{\mathrm{mi}}$ 为通过回路平面磁通量的增量
• $\Phi_{\mathrm{mf}},\Phi_{\mathrm{mi}}$ 分别为磁场通过导体回路末状态和初状态时的磁通量。
• 一般约定，导体回路所围平面法线正方向 $e_{\mathrm{n}}$ 与回路正方向（或电流的绕向）满足右手螺旋关系。（用于计算 $\Phi_{\mathrm{m}}$ 的闭合回路的法线方向取为与回路电流绕向成右手螺旋关系）
• 任意一个电流回路在非匀强磁场中角位置发生变化时，如果保持回路中电流大小和方向不变，磁力矩所做的功仍可依照上式计算

载流线圈在磁场中受到的作用

载流平面线圈受到的合力为零，即

$$\boldsymbol{F}=\oint_{l}(I \mathrm{~d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B})=I\left(\oint_{l} \mathrm{~d} \boldsymbol{l}\right) \times \boldsymbol{B}=0$$

载流线圈受到磁场作用的磁力矩为

$$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B}$$

其中 $\boldsymbol{m}=IS\boldsymbol{e}_\mathrm{n}$ 与电流流向呈右手螺旋关系，与线圈垂直。
磁偶极矩（线圈）在外磁场中的能量为

$$W_{m}=-\vec{m} \cdot \vec{B}=-m B \cos \varphi$$

带电粒子在匀强磁场中的运动

电量为 $q$ 的粒子以速度 $v$ 在匀强的稳恒磁场 $\boldsymbol{B}$ 中运动时，会受到磁场的作用力，即洛伦兹力

$$\boldsymbol{F}=q \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$$

• 当粒子运动速度与磁感应强度方向平行或反平行时，由于 $\boldsymbol{F}=0$，粒子不受力，则粒子将保持运动状态不变。
• 当粒子运动速度与磁感应强度方向垂直时，粒子受到磁场作用力最大。因洛伦兹力与粒子运动方向垂直，洛伦兹力不做功，粒子运动速度大小不变，洛伦兹力大小 $F=q v B$ 也不变，带电粒子将做匀速率圆周运动。粒子的运动轨道半径为 $$R=\frac{m v}{q B}$$ 带电粒子绕圆形轨道的运动周期为 $$T=\frac{2 \pi R}{v}= \frac{2 \pi m}{q B}$$
• 当粒子运动速度与磁感应强度方向既不垂直也不平行时，洛伦兹力 $\boldsymbol{F}=q \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}=q \boldsymbol{v}_{\perp} \times \boldsymbol{B}$，只与粒子速度在垂直于磁感应强度方向上的分量 $\boldsymbol{v}_{\perp}$ 有关，与磁感应强度方向上的分量 $v_{//}$ 无关。
  设粒子运动速度 $v$ 与磁感应强度 $\boldsymbol{B}$ 的夹角为 $\theta$，则 $v_{\perp}=v \sin \theta$，$v_{//}=v \cos \theta$，粒子将沿螺旋线运动。螺旋线的半径为 $$R=\frac{m v_{\perp}}{q B}=\frac{m v \sin \theta}{q B}$$ 螺距为 $$h=v_{/ /} T=\frac{2 \pi m v \cos \theta}{q B}$$ 周期为 $$T=\frac{2 \pi m}{q B}$$

磁约束

另外，由于非匀强磁场的磁感应强度方向在空间有连续性的变化，因此，粒子运动的螺旋线会随磁感应强度方向的变化而变化。并且，由于洛伦兹力的性质，当粒子在非匀强磁场中运动时，洛伦兹力 $\boldsymbol{F}=q \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ 总有一个由强磁场区域指向弱磁场区域的分量存在，使得粒子有从强磁场区域向弱磁场区域运动的趋势。若本来粒子就是从强磁场区域向弱磁场区域运动，这种运动将被加速；若本来粒子是从弱磁场区域向强磁场区域运动，这种运动将被减速，并且粒子有可能被洛伦兹力从强磁场区域拉回到弱磁场区域。因此，一定分布的非匀强磁场可以对带电粒子的运动产生约束，这称为磁约束。

霍尔效应

当把一载流导体放在磁场中时，如果磁场方向与电流方向垂直，则在与磁场和电流两者都垂直的方向上出现横向电势差。这一现象称为霍尔效应，这个电势差称为霍尔电势差。

实验表明：霍尔电势差 $\Delta U_{\mathrm{H}}=U_{2}-U_{1}$ 的大小与导体中的电流强度 $I$ 及磁场的磁感应强度 $B$ 成正比，而与导体沿磁感应强度方向上的线度 $d$ 成反比，即

$$\Delta U_{\mathrm{H}}=R_{\mathrm{H}} \frac{B I}{d}$$

式中 $R_{\mathrm{H}}$ 称为霍尔系数，与导体材料有关。若已知金属导体内载流子的电量为 $q=-|e|$，载流子的数密度为 $n$，则霍尔系数 $R_{\mathrm{H}}=\frac{1}{n|e|}$

第十四章 磁场与物质的相互作用

磁介质

定义

物质内部包含大量的分子（或原子），分子（或原子）由带正电的原子核和绕原子核运动的电子组成。原子核外的电子轨道运动有磁效应（轨道磁矩），再考虑到电子本身的磁性（自旋磁矩），原子（或分子）将可能表现出磁性。因此，我们又可以把物质称为磁介质。

磁导率

设空间没有磁介质时，稳恒电流激发的磁场为 $\boldsymbol{B}_{0}$，而当磁场中充满某种各向同性的均匀磁介质时，介质中的磁场为 $\boldsymbol{B}$，实验发现，$\boldsymbol{B}=\mu_{\mathrm{r}} \boldsymbol{B}_{0}$，其中 $\mu_{\mathrm{r}}$ 称为介质的相对磁导率。定性来讲，$\mu_{\mathrm{r}}$ 的值大，说明物质（磁介质）与磁场间的作用强。

分类

根据磁导率，人们通常把常见的磁介质分成如下 $4$ 类：

• 抗磁质，$\mu_{\mathrm{r}}<1$。稳恒电流在这类磁介质中的磁场弱于相应稳恒电流在真空中产生的磁场。水银；铜；铋；硫；氯；氢；银；金；锌；铅等都属于抗磁性物质。
• 顺磁质，$\mu_{\mathrm{r}}>1$。稳恒电流在这类磁介质中的磁场强于相应稳恒电流在真空中的磁场。锰；铬；铝；氮等都属于顺磁性物质。
• 铁磁质，$\mu_{\mathrm{r}} \gg 1$。稳恒电流在这类磁介质中的磁场比相应稳恒电流在真空中的磁场强得多。铁；铂；钴等以及这些金属的合金，还有铁氧体等都属于铁磁类物质。
• 超导体。超导体又大致可以分成两类：第一类超导体和第二类超导体。第一类超导体在外加磁场不太强时，磁场被完全排除在超导体外，这种磁介质具有完全抗磁性，则第一类超导体内 $\mu_{\mathrm{r}}=0$。第二类超导体则不完全相同，它只具有部分区域（处于超导状态的区域）的完全抗磁性。

原子中电子的磁矩

当质量为 $m$、电荷为 $-|e|$ 的电子以速率 $v$ 在半径为 $r$ 的圆周上绕原子核运动时，有一个等效的圆电流 $I$ 和等效的轨道磁矩 $\mu_{l}$，大小为

$$\mu_{l}=I S=\left(\frac{v|e|}{2 \pi r}\right) \pi r^{2}=\frac{1}{2}|e| v r=\frac{|e|}{2 m} L$$

式中 $L=m v r$ 为电子绕原子核运动的角动量大小。因为电子带负电，电子的轨道磁矩与其角动量方向相反，可以把上式改写为

$$\boldsymbol{\mu}_{l}=-\frac{|e|}{2 m} \boldsymbol{L}$$

对于电子的自旋运动，原子的光谱实验表明，电子的自旋磁矩 $\boldsymbol{\mu}_{s}$ 和自旋角动量 $\boldsymbol{S}$ 间有如下关系：

$$\boldsymbol{\mu}_{s}=-\frac{|e|}{m} \boldsymbol{S}$$

因此，核外电子的磁矩包括轨道磁矩和自旋磁矩两部分，即 $\boldsymbol{\mu}_{\mathrm{e}}=\boldsymbol{\mu}_{l}+\boldsymbol{\mu}_{s}$。而分子（原子）的总磁矩为所有核外电子的磁矩的矢量和。

• 这里，没有把原子核的磁矩考虑在内，这是因为原子核的磁矩与电子的磁矩相比很小，对物质在宏观层次的磁性的贡献可以忽略。

磁场中的核外电子

抗磁质与顺磁质

介质的磁化与磁化电流

• 物质在磁场中所表现出的磁学行为称为介质的磁化。
• 无外加磁场时，无论是抗磁质还是顺磁质，任意大小的宏观体元 $\Delta V$ 内磁介质分子磁矩的矢量和为零，即 $\sum_{\Delta V} \boldsymbol{\mu}_{\mathrm{m} i}=0$，其中 $\boldsymbol{\mu}_{\mathrm{m} i}$ 代表 $\Delta V$ 内第 $i$ 个分子的磁矩
• 有外磁场时，$\sum_{\Delta V} \boldsymbol{\mu}_{\mathrm{m} i} \neq 0$，且外加磁场越强介质磁化程度越强，即 $\sum_{\Delta V} \boldsymbol{\mu}_{\mathrm{m} i}$ 的值越大。
• 对于均匀磁化的磁介质而言，无论是抗磁质还是顺磁质，在介质内部，分子电流相互抵消，而在其表面附近分子电流不会完全抵消，则在磁介质的表面会出现与磁化现象有关的电流，称为磁化电流。处于非均匀磁化状态时，磁介质内部也会有磁化电流分布。

磁化强度矢量

为了定量描写磁介质的磁化程度，取宏观上足够小、微观上足够大的体元 $\Delta V$，引入磁化强度矢量

$$\boldsymbol{M}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\sum_{\Delta V} \boldsymbol{\mu}_{\mathrm{m} i}}{\Delta V}$$

• 在国际单位制中，磁化强度 $\boldsymbol{M}$ 的单位是 $\mathrm{A} \cdot \mathrm{m}^{-1}$
• 对于抗磁质，磁化强度 $\boldsymbol{M}$ 的方向与外磁场方向相反，由于介质磁化所产生的磁场与外磁场的方向相反，使介质中的总磁场减弱。
• 对于顺磁质，磁化强度 $\boldsymbol{M}$ 的方向与外磁场方向一致，由于介质磁化所产生的磁场与外磁场的方向相同，使介质中的总磁场增强。

磁化电流

介质表面磁化电流强度

$$\mathrm{d} I^{\prime}=M \mathrm{d} l \cos \theta=\boldsymbol{M} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$$

磁化电流线密度 $\boldsymbol{\alpha}^{\prime}$ 的矢量形式

$$\boldsymbol{\alpha}^{\prime}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$$

在两种介质交界面

$$\boldsymbol{\alpha}^{\prime}=(\boldsymbol{M}_1-\boldsymbol{M}_2) \times \boldsymbol{e}_{\mathrm{n}1}$$

常见磁介质激发磁场的模型

均匀磁化介质球

轴线上介质球外 $z>R$

$$B_{z}=\frac{2 \mu_{0} M R^{3}}{3|z|^{3}}$$

介质球内 $z<R$

$$B_{z}=\frac{2}{3} \mu_{0} M$$

细长均匀磁化圆棒

对称轴上圆棒中部附近

$$B=\mu_0 M$$

两端

$$B=\frac{\mu_0 M}{2}$$

介质中磁场的高斯定理

在外加稳恒磁场中，介质的磁化也是与时间无关的稳定状态，当然与之对应的磁化电流也应与时间无关。因此，介质磁化（电流）所产生的磁场 $\boldsymbol{B}^{\prime}$ 也应和稳恒电流产生的磁场 $\boldsymbol{B}_{0}$ 具有相同的性质，它们对应的磁力线都应是一系列闭合的曲线，都是无源场，即

$$\oiint_{S} \boldsymbol{B}_{0} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0$$

和

$$\oiint_{S} \boldsymbol{B}^{\prime} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0$$

则介质的总磁场满足

$$\oiint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0$$

上式称为介质中磁场的高斯定理。

介质中磁场的安培环路定理

定义磁场强度矢量 $\boldsymbol{H}$

$$\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_{0}}-\boldsymbol{M}=\boldsymbol{H}$$

在国际单位制中，磁场强度矢量的单位为 $\mathrm{A} / \mathrm{m}$。

$$\oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\sum I_{\mathrm{c}}=\iint_{S} \boldsymbol{j}_{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

上式称为介质中磁场的安培环路定理。文字表述：磁场强度矢量 $\boldsymbol{H}$ 通过任意闭合曲线 $l$ 的环流等于该闭合曲线 $l$ 所围的传导电流的代数和。

• 磁场强度矢量 $\boldsymbol{H}$ 通过任意闭合曲线 $l$ 的环流仅与闭合曲线 $l$ 所围的传导电流有关。
• 磁场强度矢量 $\boldsymbol{H}$ 并不仅由空间传导电流分布决定，它还与介质的磁化电流有关 （若分布具有对称性，则磁场强度矢量与磁化电流无关）
• 描述介质中磁场的物理量还是磁感应强度 $\boldsymbol{B}$。磁场强度矢量 $\boldsymbol{H}$ 仅是描述介质中磁场性质的一个辅助量，其本身并没有物理意义。
• 均匀磁化磁介质的磁化电流仅出现在介质表面上，非均匀磁化磁电介质的磁化电流出现在介质表面和介质内部。
• 对于各向同性的磁介质，当外磁场不太强时，磁介质内任意空间点的磁化强度与该点处的磁场强度成正比，即 $$\boldsymbol{M}=\chi_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}$$ 式中 $\chi_{\mathrm{m}}$ 称为介质的磁化率。
• 当介质为各向同性的均匀介质时，介质的磁化率 $\chi_{\mathrm{m}}$ 为无量纲的常数值，与介质中的磁感应强度无关，与空间点无关。
  • 对于顺磁质，$\chi_{\mathrm{m}}>0$，磁化强度 $\boldsymbol{M}$ 和磁场强度 $\boldsymbol{H}$ 的方向相同
  • 对于抗磁质，$\chi_{\mathrm{m}}<0$，磁化强度 $\boldsymbol{M}$ 和磁场强度 $\boldsymbol{H}$ 的方向相反
• 把 $\boldsymbol{M}=\chi_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}$ 代入磁场强度矢量 $\boldsymbol{H}$ 的定义式 $\boldsymbol{B}=\mu_{0}(\boldsymbol{H}+\boldsymbol{M})$，得 $$\begin{aligned} \boldsymbol{B} &=\mu_{0}\left(\boldsymbol{H}+\chi_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}\right)=\mu_{0}\left(1+\chi_{\mathrm{m}}\right) \boldsymbol{H} \\ &=\mu_{0}\left(1+\chi_{\mathrm{m}}\right) \boldsymbol{H}=\mu_{0} \mu_{\mathrm{r}} \boldsymbol{H} \end{aligned}$$ 式中 $\mu_{\mathrm{r}}=1+\chi_{\mathrm{m}}$ 称为介质的相对磁导率，实际上是描述介质相对于真空的磁性质，介质的磁导率是真空磁导率的 $\mu_{\mathrm{r}}$ 倍。设 $\mu=\mu_{0} \mu_{\mathrm{r}}$ 表示介质的磁导率，则 $$\boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H}$$

介质交界面两侧磁场的关系

$$\begin{array}{l} B_{1 \mathrm{n}}=B_{2 \mathrm{n}} \\ H_{1 \mathrm{t}}=H_{2 \mathrm{t}} \end{array}$$

在介质两侧的

• 磁感应强度矢量在界面法线方向的分量连续
• 磁感应强度矢量在界面切线方向的分量不连续
• 磁场强度矢量在界面切线方向的分量连续
• 磁场强度矢量在界面法线方向的分量不连续

铁磁材料

磁滞回线

为了使铁磁材料磁化，可以通过在铁磁材料环上密绕 $N$ 市细导线线圈，构成密绕的螺绕环。当线圈中通有传导电流 $I$ 时，应用安培环路定理，得知螺绕环内的磁场强度为 $H=n I$，其中 $n=N / 2 \pi r$ 为螺绕环单位长度的匝数。这样，通过改变螺绕环中的电流 $I$，就可以改变铁磁材料中的磁场强度，与此同时记录下铁磁材料中磁场的磁感应强度。铁磁类材料的磁感应强度与磁场强度间的关系如下图所示。

• 铁磁环开始磁化时，随磁场强度 $H$ 增大，铁磁材料中磁感应强度 $B$ 逐渐增大（如 $Oa$ 段）。
• 当磁场强度 $H$ 继续增大时，磁感应强度 $B$ 增大较快（如 $a b$ 段）。
• 当磁场强度 $H$ 再增大时，磁感应强度 $B$ 增大速度变慢（如 $b c$ 段），并在 $c$ 点达到饱和值。
• 此后，磁场强度 $H$ 再增大时，磁感应强度 $B$ 保持不变。
• 如果磁场强度 $H$ 减小时，磁感应强度 $B$ 先保持不变，过 $c$ 点后开始减小，但并不沿 $c a$ 变化，而是沿 $c d$ 线减小。
• 当 $H$ 减小为 $0$ 时，磁感应强度 $B$ 并不为零。此时，铁磁材料中的磁感应强度为 $B_{\mathrm{r}}$，称为剩余磁感应强度。这是铁磁材料特有的剩磁现象。
• 反向增大磁场强度 $H$ 时，铁磁材料中的磁感应强度 $B$ 将减小。
• 当反向磁场强度 $H$ 增大到某一值 $H_{\mathrm{c}}$ 时，磁感应强度 $B$ 才减小到零。$H_{\mathrm{c}}$ 称为铁磁材料的矫顽力。
• 随着反向磁场强度 $H$ 进一步增大，铁磁材料中的磁感应强度 $B$ 会达到反向的饱和状态（如 $f$ 点）。
• 若减小反向磁场的磁场强度 $H$，磁感应强度 $B$ 沿 $f g$ 线到达 $g$ 点。$f g$ 线和 $c d$ 线完全对称，$g$ 点和 $d$ 点也完全对称。在 $g$ 点，铁磁材料也有和 $d$ 点一样的剩磁。
• 再把磁场强度改为正向，随着 $H$ 增大，磁感应强度 $B$ 的值先减小到零，再正向增大到饱和状态（$c$ 点）。
• 可以看出，磁感应强度 $B$ 的变化总滞后于磁场强度 $H$ 的变化，因此，上图所示的闭合曲线称为磁滞回线。图中的 $O a b c$ 曲线称为初始磁化曲线。
• 铁磁材料的磁导率 $\mu=\frac{B}{H}$ 是多值的，并且与磁场强度 $H$ 的取值以及铁磁材料的磁化历史有关。

理论解释

（Todo）

应用

（Todo）

第十五章 电磁感应

法拉第定律（感生电动势）

导体回路中感应电动势 $\mathscr{E}$ 的大小与通过回路磁通量的变化率成正比，即

$$\mathscr{E}=-k \frac{\mathrm{d} \Phi_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d} t}$$

这个规律称为法拉第电磁感应定律。

• 式中 $k$ 为比例系数，其值与式中各相关物理量的单位有关。在国际单位制中，电动势 $\mathscr{E}$ 的单位是 $\mathrm{V}$，磁通量 $\Phi_{\mathrm{m}}$ 的单位是 $\mathrm{Wb}$，时间的单位是 $\mathrm{s}$，则 $k=1$。
• 式中的负号是楞次根据导体回路中的感应电流的方向和通过导体回路的磁通量的变化率间的关系从实验中总结出来的。这就是，闭合导体回路中感应电流的方向总是使它所激发的磁场阻碍产生感应电流的磁通量的变化，这称为楞次定律。
• 对导体回路任取一个绕行方向作为回路中感应电动势的正方向。
• 以回路的绕行方向和右手螺旋关系确定回路所围平面的正法线方向，即右手四指自然弯曲指向回路的绕行方向，右手拇指的指向就是回路所围平面的正法线方向。
• 根据回路所围平面的正法线方向求出通过导体回路的磁通量 $\Phi_{\mathrm{m}}$。
• 求出回路中感应电动势 $\mathscr{E}$。如 $\mathscr{E}$ 的结果为正，则感应电动势的方向与假设的回路绕行方向一致；如 $\mathscr{E}$ 的结果为负，则感应电动势的方向与假设的回路绕行方向相反。
• 如果通过每匝线圈的磁通量相同，都为 $\Phi_{\mathrm{m}}$，磁通匝链数 $\Psi=N \Phi_{\mathrm{m}}$，则线圈中总的感应电动势为 $$\mathscr{E}=-N \frac{\mathrm{d} \Phi_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d} t}$$

动生电动势

设导体棒 $a b$ 在不随时间变化的磁场 $\boldsymbol{B}$ 中以速度 $v$ 运动。导体两端电动势为

$$\mathscr{E}=(\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B})\cdot l$$

对于任意的磁场分布以及任意的导体运动情况，甚至导体回路各个部分的运动速度不相同的普遍情况，动生电动势为

$$\mathscr{E}=\oint_{l}(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$$

式中 $v$ 为导体线元 $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 的运动速度；$\boldsymbol{B}$ 为导体线元 $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ 处的磁场磁感应强度。

• 动生电动势产生的真正根源是导体在磁场中运动时导体中的自由电子受到的洛伦兹力。这就是动生电动势产生的微观机制。

常见模型

旋转

$$\mathscr{E}_{OA}=\frac{1}{2}B\omega L^2$$

感生电动势

麦克斯韦认为：即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围也会激发一种电场，这种电场称为感应电场，记作 $\boldsymbol{E}_{\mathrm{i}}$，满足

$$\mathscr{E}=\oint_{l} \boldsymbol{E}_{\mathrm{i}} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=-\iint_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \iint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=-\frac{\mathrm{d} \Phi_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d} t}$$

• 若按上式，则方向取与磁场方向匹配的电场方向。若按数值来看，方向使用右手螺旋法则判断：大拇指指向 $\boldsymbol{B}$ 减少的方向，四指弯曲指向涡旋电场正方向。

感应电场与静电场的共同点是对电荷 $q$ 都有作用力，且作用规律相同，即 $\boldsymbol{F}= q \boldsymbol{E}_{\mathrm{i}}$。与静电场不同的是，静电场对任意闭合回路的环流为零，而感应电场对任意闭合回路的环流一般不为零。因此，感应电场是非保守力场。因为感应电场对闭合回路的环流不恒为零，感应电场又称为涡旋电场。

$$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}_{\mathrm{i}}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$$

柱对称性

$$E_{i}=\left\{\begin{array}{cc} -\frac{r}{2} \frac{\partial B}{\partial t}, & r \leq R \\ -\frac{R^{2}}{2 r} \frac{\partial B}{\partial t}, & r \geq R \end{array}\right.$$

电子感应加速器

要使电子在确定的圆形轨道上运动并被涡旋电场加速，磁场分布满足特定的条件：

$$B=\frac{1}{2}\overline{B}$$

在任意时刻，当电子轨道上的磁感应强度保持与轨道内磁场磁感应强度的平均值的一半相等时，电子可以在确定的轨道上被加速。

涡旋电场与涡电流

（Todo）

自感

当通过线圈回路中电流发生变化时，引起穿过自身回路的磁通量发生变化，从而在回路自身产生感生电动势的现象称为自感现象。自感现象中所产生的电动势称为自感电动势。
设通过线圈的电流为 $I$，根据毕奥-萨伐尔定律，电流在空间激发的磁场磁感应强度总是正比于通过线圈的电流 $I$，因此，通过线圈自身的磁通匝链数一定正比于电流 $I$，即

$$\Psi=L I$$

式中 $\Psi$ 为总磁通量，$L$ 称为线圈的自感系数，简称为自感。

• 自感的大小与线圈回路的大小、形状、匝数以及线圈周围磁介质的分布都有关系。
• 规定回路正方向与电流方向一致，因此总是有 $L>0$

自感电动势

根据法拉第电磁感应定律，线圈回路中的自感电动势为

$$\mathscr{E}_{L}=-\frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{d}(L I)}{\mathrm{d} t}=-L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}-I \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}$$

• 式中 $-L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}$ 为线圈中电流变化引起通过线圈回路磁通匝链数变化而对自感电动势的贡献
• $-I \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}$ 为线圈回路的大小、形状以及周围磁介质分布的情况发生变化时对自感电动势的贡献。

如果自感系数 $L$ 不变，则自感电动势为

$$\mathscr{E}_{L}=-L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}$$

• 式中负号表明自感电动势的方向阻碍线圈回路中电流的变化。
  • 当回路中电流减小时，$\mathscr{E}_{L}>0$，自感电动势的方向与回路中电流的方向相同，阻碍回路中电流的减小
  • 当回路电流增加时，$\mathscr{E}_{L}<0$，自感电动势的方向与回路中电流的方向相反，阻碍回路中电流的增加。
  • 自感系数越大，这种阻碍作用越强，回路中电流越不容易变化。线圈的这一特性又称为电磁惯性。
• 在国际单位制中，自感系数的单位是亨利，用 $\mathrm{H}$ 表示。$\mathrm{H}$ 是导出单位，即 $1 \mathrm{H}=1 \mathrm{Wb} / \mathrm{A}$

互感

有两个邻近的载流线圈 $1$ 和 $2$，分别通有电流强度为 $I_{1}$，$I_{2}$ 的电流。线圈 $1$ 中的电流 $I_{1}$ 产生的磁场，对通过线圈 $2$ 的磁通匝链数的贡献为 $\Psi_{21}$。线圈 $2$ 中的电流 $I_{2}$ 产生的磁场，对通过线圈 $1$ 的磁通匝链数的贡献为 $\Psi_{12}$。根据毕奥 $-$ 萨伐尔定律，有

$$\begin{array}{c} \Psi_{21}=M_{21} I_{1}\\ \Psi_{12}=M_{12} I_{2} \end{array}$$

• 当线圈 $1$ 中的电流发生变化时或两个线圈的大小和形状、相对位置及周围磁介质情况发生变化时，都会引起 $\Psi_{21}$ 的变化，从而在线圈 $2$ 中产生相应的感应电动势 $\mathscr{E}_{21}$。
• 当线圈 $2$ 中的电流发生变化时或两个线圈的大小和形状、相对位置及周围磁介质情况发生变化时，也会引起 $\Psi_{12}$ 的变化，从而在线圈 $1$ 中产生相应的感应电动势 $\mathscr{E}_{12}$。
• 这种在不同线圈间的相互感应的现象称为互感现象，相应的电动势 $\mathscr{E}_{21}$ 或 $\mathscr{E}_{12}$ 称为互感电动势。
• $M_{12}$ 和 $M_{21}$ 称为互感系数，简称为互感。$M_{12}=M_{21}$，因此可用 $M$ 表示两个线圈间的互感系数，即 $$M=\frac{\Psi_{21}}{I_{1}}=\frac{\Psi_{12}}{I_{2}}$$
• 互感系数 $M$ 与两个线圈的大小、形状、两线圈的相对位置以及周围磁介质情况有关。互感的单位与自感的单位相同。
• 对特殊的线圈回路的形状和线圈间的相对位置,两个线圈间互感系数通常可从定义式（上式）获得

根据法拉第电磁感应定律，两个线圈回路中的互感电动势为

$$\begin{array}{l} \mathscr{E}_{21}=-\frac{\mathrm{d} \Psi_{21}}{\mathrm{d} t}=-M \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{d} t}-I_{1} \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} t} \\ \mathscr{E}_{12}=-\frac{\mathrm{d} \Psi_{12}}{\mathrm{d} t}=-M \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{d} t}-I_{2} \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} t} \end{array}$$

如互感系数 $M$ 为确定值，则

$$\begin{array}{l} \mathscr{E}_{21}=-M \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{d} t} \\ \mathscr{E}_{12}=-M \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{d} t} \end{array}$$

• 负号表明，在一个线圈中所引起的互感电动势要反抗另一线圈中电流的变化
• 可以看出，互感系数越大，互感电动势越大，互感现象越明显，线圈间的磁耦合越强。
• 互感系数是表征互感强弱的物理量，是两个电路耦合关联程度的量度。把互感记为 $M=k \sqrt{L_{1} L_{2}}$，则 $k=\sqrt{l_{2} / l_{1}}$，$k$ 称为耦合系数。可以看出，线圈间的耦合系数 $0<k \leqslant 1$。只有两线圈的长度相同时，它们间的耦合系数才为 $1$

磁场能量

与静电场能量的概念引入类似，可以把这个能量看作线圈载流为 $I_{0}$ 时，线圈所激发出的磁场的能量，即

$$W_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} L I_{0}^{2}$$

电源电动势反抗线圈自感电动势所做的功以磁场能量的形式储存于磁场中。

以长直螺线管为例

设螺线管的长为 $l$、横截面积为 $S$、总匝数为 $N$，管内充满磁导率为 $\mu$ 的均匀磁介质。若导线内的电流为 $I$，则螺线管内空间的磁感应强度为 $B=\mu \frac{N I}{l}$，利用螺线管的自感系数 $L=\mu \frac{N^{2} S}{l}$，螺线管内磁场的能量为

$$W_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} L I^{2}=\frac{1}{2} \mu \frac{N^{2} S}{l} \cdot \frac{B^{2}}{\mu^{2}\left(\frac{N}{l}\right)^{2}}=\frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu} \cdot(S l)$$

式中 $S l=V$ 为长直螺线管内空间的体积。

磁场的能量密度

由于螺线管内磁场近似为均匀分布，则可以定义单位空间体积中磁场所具有的能量，即磁场的能量密度为

$$w_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu}=\frac{1}{2} \vec{B} \cdot\vec{H}$$

对非匀强磁场，上式仍成立。那么，在磁场分布的空间 $\Omega$ 内磁场总能量为

$$W_{\mathrm{m}}=\iiint_{\Omega} w_{\mathrm{m}} \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} \frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu} \mathrm{d} V$$

自感磁能与互感磁能

$$W_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} L_{1} I_{1}^{2}+\frac{1}{2} L_{2} I_{2}^{2}-M I_{1} I_{2}$$

与自感有关的磁场能量（简称自感磁能）总是正的，而与互感相关的磁场能量（简称互感磁能）可能大于零，也可能小于零。具体情况取决于两个线圈中电流产生的磁场方向是相同还是相反。

常见模型的自感/互感

解题方法

求自感

若已知电流分布

1. 按照电流分布求磁场分布
2. 根据磁场分布求磁通链 $\Psi$
3. $L=\frac{\Psi}{I}$

若有介质

1. 取安培环路，计算 $\boldsymbol{H}$
2. 根据介质中磁场的安培环路定理有 $\boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H}$
3. 根据磁场分布求磁通链 $\Psi$
4. $L=\frac{\Psi}{I}$

按照磁能来求

1. 取安培环路，计算 $\boldsymbol{H}$
2. $W_{\mathrm{m}}=\iiint_{\Omega} \frac{1}{2} \mu H^2 \mathrm{d} V$
3. $L=\frac{2W_{\mathrm{m}}}{I^2}$

求互感相关

1. 根据几何特点，选合适的回路(1)通上电流 $I_1$
2. 计算磁场分布
3. 计算通过另一回路(2)的磁通链 $\Psi_{21}$
4. $M=\frac{\Psi_{21}}{I_{1}}=\frac{\Psi_{12}}{I_{2}}$
5. 另一回路(2)中的互感电动势 $\mathscr{E}_{21}=-\frac{\mathrm{d} \Psi_{21}}{\mathrm{d} t}$
6. 另一回路(2)中的感应电流 $I_2=\frac{\mathscr{E}_{21}}{R}$
7. 回路(2)中的感应电流产生磁场穿过回路(1)的磁通量 $\Psi_{21}=MI_1$
8. 回路(2)中的互感电动势为 $\mathscr{E}_{12}=-\frac{\mathrm{d} \Psi_{12}}{\mathrm{d} t}$ 或 $\mathscr{E}_{12}=-M \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{d} t}$（当 $M$ 是定值）

求自感磁能

1. 取安培环路，计算 $\boldsymbol{H}$
2. 根据介质中磁场的安培环路定理有 $\boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H}$
3. $w_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} BH$

求互感磁能

1. 计算出 $M$
2. 判断两个线圈中产生的磁通相互削弱还是增强
3. 若削弱，$W_{\mathrm{m}}=-|M| I_{1} I_{2}$，若增强，$W_{\mathrm{m}}=|M| I_{1} I_{2}$

第十六章 电磁场与电磁波

位移电流

设 $\boldsymbol{D}$ 是电场的电位移矢量，$\boldsymbol{j}_{\mathrm{c}}$ 是传导电流密度，把 $\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$ 称为位移电流密度，以 $\boldsymbol{j}_{\mathrm{d}}$ 表示，即

$$\boldsymbol{j}_{\mathrm{d}}=\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$$

把位移电流密度对任意曲面 $S$ 的通量

$$I_{\mathrm{d}}=\iint_{\mathrm{S}} \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\frac{\mathrm{d} \Phi_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d} t}$$

称为位移电流
因为对于随时间变化的电流需要同时考虑传导电流和位移电流，则 $I=\iint_{S}\left(j_{\mathrm{c}}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 又称为全电流

全电流定律

$$\oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=I_c+I_d=\iint_{S}\left(j_{\mathrm{c}}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

• 式中 $S$ 为以 $l$ 为边界的任意曲面，$S$ 的法线正方向与 $l$ 的方向满足右手螺旋关系。
• 对于自由空间，无传导电流存在，即 $\boldsymbol{j}_{\mathrm{c}}=0$，上式变为 $$\oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\iint_{S} \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$
• 位移电流真正的物理意义是变化的电场可以激发磁场，但并没有像电荷移动一样的真实电流，当然也不会如导体中传导电流那样可以产生焦耳热。
• 在电介质中，根据电位移矢量定义，$\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$，则介质中的位移电流密度为 $$\boldsymbol{j}_{\mathrm{d}}=\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}=\varepsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}+\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t}$$ 式中 $\varepsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$ 是纯粹的电场变化对应的位移电流（密度），而 $\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t}$ 反映介质（分子）极化状态随时间的变化。两者都可以激发磁场，但是 $\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$ 没有任何热效应，而 $\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t}$ 会有热效应。$\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t}$ 的热效应与传导电流的焦耳热不同，这里 $\frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t}$ 的热效应是由于分子极矩随电场变化时介质分子内部以及分子间的阻尼性因素引起的。这个阻尼性因素会消耗电场的能量，并把其转化为分子的热运动能量。

★典型例题

在真空中有一均匀带电 $\pm Q$ 的圆形平板电容器。电容器的电容为 $C$，极板半径为 $r_{0}$，极板间距为 $d\left(d \ll r_{0}\right)$
在圆板中心接一电阻为 $R$ 的细直导线，$R$ 足够大，以保持放电过程中极板上的电荷分布均匀。求电容器放电过程中两板间任一点的磁场磁感应强度。

步骤一：求解电容器的带电量随时间变化的函数

电容器极板间的电势差与电阻两端的电势差相同，即

$$\frac{q}{C}=-R \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}$$

已知 $t=0$ 时，$q=Q$，解上述方程可得在 $t$ 时刻电容器极板上的电荷为

$$q=Q \mathrm{e}^{-\frac{t}{R C}}$$

步骤二：计算传导电流

则在 $t$ 时刻电阻中的传导电流强度大小为

$$I_{\mathrm{c}}=\left|\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}\right|=\frac{Q}{R C} \mathrm{e}^{-\frac{t}{R C}}$$

传导电流方向向下。

步骤三：根据电流连续性计算位移电流

由于极板间电场随时间变化，极板间有位移电流存在。所示的半径为 $r$ 的回路中，位移电流的大小为

$$I_{\mathrm{d}}=\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(D \cdot \pi r^{2}\right)\right|=\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{q}{\pi r_{0}^{2}} \pi r^{2}\right)\right|=\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\left|\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}\right|=\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}} \frac{Q}{R C} \mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}}$$

位移电流方向向上。

步骤四：得出总电流

因此，在如图 $16-2$ 所示的半径为 $r$ 的回路中总的电流大小为

$$I=I_{\mathrm{c}}-I_{\mathrm{d}}=\frac{Q}{R C} \mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}}\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)$$

总电流方向向下。

步骤五：应用全电流定律计算磁场强度矢量

可以看出，总电流具有柱对称性，因此该电流产生的磁场也具有柱对称性。对圆形回路利用全电流定律得

$$\oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=H(r) \cdot 2 \pi r=I=\frac{Q}{R C} \mathrm{e}^{-\frac{t}{R C}}\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)$$

则

$$H(r)=\frac{Q}{2 \pi r R C} \mathrm{e}^{-\frac{t}{R C}}\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)$$

步骤六：得出磁感应强度

因此，在离电容器对称轴距离为 $r$ 的空间点磁场的磁感应强度为

$$B(r)=\mu H(r) = \frac{\mu_{0} Q}{2 \pi r R C} \mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}}\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)$$

磁感应强度方向与总电流的方向满足右手螺旋关系。

全电流定律求磁感应强度的方法

1. 点电荷 $q$ 根据场强公式定理求出电场强度 $E$，再根据 $\boldsymbol{D}=\varepsilon \boldsymbol{E}$ 求出 $D$
2. 电容器根据高斯定理求出 $D=\sigma$
3. 取一闭合曲面，$D$ 向曲面法向投影
4. 计算 $D$ 通过曲面的通量 $\Phi_D$
5. 根据位移电流的定义 $I_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{d} \Phi_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d} t}$
6. 加上传导电流得到全电流
7. 应用全电流定律 $\oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\iint_{S} \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$ 得到 $H$
8. 由 $B=\mu H$ 得到 $B$

麦克斯韦方程组

电场可以激发磁场，磁场又可以激发电场。电场和磁场形成相互激发、相互依存的整体——电磁场。麦克斯韦提出了电磁场所满足的方程组：

$$\oiint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\sum q=\iiint_{\Omega} \rho_{0} \mathrm{~d} V$$ $$\oiint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0$$ $$\oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=-\iint_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$ $$\oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\iint_{S}\left(\boldsymbol{j}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$$

• 式中 $\rho_{0}$ 为自由电荷体密度；
• 式 a 和式 b 的 $S$ 是任意的封闭曲面（或高斯面），$\Omega$ 为高斯面 $S$ 所围的空间体积。
• 式 c 和式 d 中的 $S$ 是以任意闭合回路 $l$ 为边界的任意曲面，两者间满足右手螺旋关系。
• 对于各向同性介质，当场不太强时，描述电磁场各量间的关系为 $$\boldsymbol{D}=\varepsilon \boldsymbol{E},\quad \boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H},\quad \boldsymbol{j}=\gamma \boldsymbol{E}$$ 式中 $\gamma$ 为介质的电导率。
• 对于自由空间的电磁场，因为 $\boldsymbol{j}_{\mathrm{c}}=0$，$\rho_{0}=0$，麦克斯韦方程组可简化为 $$\begin{array}{l} \oiint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0 \\ \oiint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0 \\ \oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=-\iint_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \\ \oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\iint_{S} \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \end{array}$$

电磁波的波动方程

电磁场的电、磁分量都具有波动特征。

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}^{2} \boldsymbol{E} & =\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}} \\ \boldsymbol{\nabla}^{2} \boldsymbol{H} & =\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \boldsymbol{H}}{\partial t^{2}} \end{aligned}$$

式中 $\boldsymbol{\nabla}^{2}=\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ 称为拉普拉斯算子。

若设电磁波沿 $x$ 方向传播，电场分量沿 $y$ 轴方向，由麦克斯韦方程组可以推知，磁场分量一定沿 $z$ 方向，此时电场分量和磁场分量分别满足

$$\begin{array}{c} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{u^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{u^{2}} \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial t^{2}} \end{array}$$

电磁波的传播速度

电磁波的传播速度为

$$c=u=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$$

在介质中，电磁波的传播速度可改写为

$$u=\frac{1}{\sqrt{\mu_{\mathrm{r}} \mu_{0} \varepsilon_{\mathrm{r}} \varepsilon_{0}}}=\frac{c}{n}$$

式中 $c$ 为电磁波（或光）在真空中的传播速度，$n=\sqrt{\mu_{\mathrm{r}} \varepsilon_{\mathrm{r}}}$ 称为介质的折射率。

平面电磁波的性质

• 电磁波的电场分量和磁场分量总与电磁波传播速度 $\boldsymbol{u}$ 的方向垂直，故电磁波是横波。
• 电磁波的电场分量和磁场分量都在各自确定的平面内振动，相位相同，这称为电磁波的偏振性。
• 电磁波在传播过程中，电场分量 $\boldsymbol{E}$、磁场分量 $\boldsymbol{H}$ 和传播速度 $\boldsymbol{u}$ 的方向满足右手螺旋关系，即 $(\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}) / / \boldsymbol{u}$。
• 在任意时刻，任意空间位置，$\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{H}$ 始终满足 $\sqrt{\mu} H=\sqrt{\varepsilon} E$
• 如果电磁波沿 $x$ 轴正向传播的波动式 $$\begin{array}{c} E_{y}=E_{0} \cos \omega\left(t-\frac{x}{u}\right) \\ H_{z}=H_{0} \cos \omega\left(t-\frac{x}{u}\right) \end{array}$$
• 如果电磁波沿 $x$ 轴负向传播的波动式 $$\begin{array}{c} E_{y}=E_{0} \cos \omega\left(t+\frac{x}{u}\right) \\ H_{z}=-H_{0} \cos \omega\left(t+\frac{x}{u}\right) \end{array}$$

坡印廷矢量

与机械波相同，我们用能流密度，即单位时间内通过与电磁波的传播方向垂直的单位截面的电磁能量，来度量电磁波在传播过程中的能量输运性质。电磁波的能流密度称为坡印廷矢量，通常用 $\boldsymbol{S}$ 表示，其大小为

$$S=w u$$

式中 $u$ 为电磁波在介质中的波速；$w$ 是电磁波的能量密度，包含电场分量和磁场分量的能量密度，即

$$\begin{aligned} w&=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2}+\frac{1}{2 \mu} B^{2}\\ &=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2}+\frac{1}{2} \mu H^{2} \end{aligned}$$

坡印廷矢量的大小可改写为 $S=E H$。因为电磁波能量的传播方向就是电磁波的传播方向，则坡印廷矢量 $\boldsymbol{S}$ 可表示为

$$\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$$

据能流密度计算公式

$$S=E_{0} H_{0} \cos ^{2} \omega(t-x / u)$$

取一个周期内的平均值，得平均能流密度

$$\begin{aligned} \overline{S}&=\frac{1}{2} E_{0} H_{0}\\ &=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} E_{0}^{2}=\frac{u \varepsilon}{2} E_{0}^{2}=\frac{1}{2u\mu} E_{0}^{2}\\ &=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} H_{0}^{2}=\frac{1}{2u \varepsilon} H_{0}^{2} = \frac{u\mu}{2} H_{0}^{2} \end{aligned}$$

第七章 机械波

机械波的产生条件

形成机械波必须要有两个条件：

• 要有做机械振动的物体——波源。
• 要有能够传播机械振动的弹性介质。

在弹性介质中，每一质元与邻近质元之间存在弹性力的作用，当某质元在外界作用下在平衡位置附近振动时，将给相邻质元以力的作用，相邻质元在该力的作用下也将开始运动，这样上游质元带动下游质元振动，从而使振动状态由波源发出并沿着介质传播而形成波动。

机械波的传播特点

当机械波在弹性介质中传播时，介质中不同位置的质元都将做振动，这些质元的振动规律相同，但振动步调或相位不同，下游质元的振动总是滞后于上游质元的振动，即下游质元的振动相位总是落后于上游质元的振动相位。因此，机械波是弹性介质中大量质元参与的一种集体运动效应，对每个质元而言，其位置都在随时间做周期性变化的运动（即振动），对不同质元之间的运动关系而言，由于振动相位由上游至下游相继落后，不同质元在空间的位置分布也具有周期性。
当振动状态以机械波的形式在介质中传播时，由于每个质元都只在自身的平衡位置附近做周期性运动，并没有质量沿着波的传播方向流动而在介质中传播，因此机械波传播的是质元的振动状态，即机械波的传播是振动相位的传播。由于下游质元是由上游质元的带动而开始运动，因此一定会有能量由上游质元传递给下游质元，这一能量来源于波源的运动，即机械波的传播也伴随着能量的传播。
在波的传播过程中，质元的振动方向和波的传播方向不一定相同。如果质元的振动方向与波的传播方向垂直，称为横波，如在弹性绳中传播的波；如果质元的振动方向与波的传播方向平行，则称为纵波，如在空气中传播的声波。横波和纵波是两种最简单的波，而如水波、地震波等传播时，质元的运动情况将复杂得多。
由波源发出的波是以横波还是纵波的形式在介质中传播，取决于介质的弹性性质，在流体（液体、气体）介质中只能传播纵波﹐而在固体介质中，既能传播纵波，也能传播横波。其原因在于，在固体中，无论质元是沿波的传播方向振动还是沿与传播方向相垂直的方向振动，在相邻质元间总存在着弹性力的作用；而在流体介质中，相邻质元间只存在着沿波传播方向的压缩和恢复作用。
对于一定的介质，存在着一个“高频极限”，即当波的频率大于这一极限值时，波将不能在该介质中传播。这是因为随着波的频率升高，波长变短，当波长短到与构成介质的分子间距有相同数量级时，连续介质的概念及相应的弹性都将失去意义。

波的几何描述

当波源在介质中振动时，振动状态将沿各个方向传播，为形象地描述某一时刻振动状态传播到达空间各点的情况，可以在介质中画出该时刻这些点所构成的曲面，我们把介质中这些相位相同的点所构成的面，称为波面或波阵面，亦即同相面。最前面的波面称为波前。在波所传播到的空间范围内，可以画无穷多个波阵面，通常的画法是，相邻两波阵面之间为一个波长。
波阵面的形状通常由波源情况及传播介质的性质共同决定。波源情况是指波源的大小，形状等几何特征；介质性质决定了波在介质中的传播特点。在以后的讨论中，只讨论波在各向同性的均匀介质中传播的情形。“各向同性”是指介质的物理性质与方向无关，就波的传播而言，波在各向同性介质中传播时，其波速与传播方向无关。而“均匀介质”则表示该介质的空间均匀性，即介质在空间不同位置的物理性质相同，具体到波的传播，均匀介质意味着波的传播速度在空间处处相同。当波在各向同性的均匀介质中传播时，沿不同方向传播的波在相同时间内传播相同的距离。
在各向同性的均匀介质中，从一个点波源发出的振动状态，经过一定时间后，将到达一个球面上，引起该球面上各质点做相位相同的振动。波面是球面的波称为球面波。在离波源足够远，且观察的范围很小时，球面可看成是平面，这种波称为平面波。我们也常用有向线段表示波的传播方向，称为波线。在各向同性的介质中波线恒与波面垂直。

波长、频率、波速

• 定义波长为沿波的传播方向上相位差为 $2 \pi$ 的两个质元之间的距离，用 $\lambda$ 表示。这是相邻两个振动状态完全相同的质元之间的距离，也是在波源的一个振动周期（以 $T$ 表示）内某一振动状态所传播的距离。
  • 对横波来说是相邻波峰（或波谷）的间距
  • 对纵波来说是相邻密集区（或稀疏区）的间距
• 在一个简谐振动周期 $T$ 内，某一振动状态（相位）以速度 $u$（也称相速度）传播的距离是一个波长，因此有关系 $$\lambda=u T$$ 由于 $T=1 / \nu$，代入上式后，得 $$\lambda \nu=u$$ 上式是波速、波长和频率之间的基本关系式。式中波速 $u$ 由介质的性质决定，波的频率则由波源的振动频率决定。上式表明：质点每完成一次全振动，波就传播出去一个完整波形，$1 \mathrm{s}$ 内质点振动了 $\nu$ 次，波就传播出去 $\nu$ 个完整波形，即 $\nu \lambda$ 的距离，也就是波的速度。

简谐波

一维平面简谐波的表达式

平面简谐波的表达式可写为

$$y=A \cos \left(\omega t-k x+\varphi_{0}\right)$$

式中

$$k=\frac{2 \pi}{\lambda}$$

称为角波数（或波矢），它表示单位长度上波的相位变化，数值上等于 $2 \pi$ 长度内所包含的完整波的个数。

能量

以弦中的横波为例，考虑一质量为 $\Delta m$、无扰动时长为 $\Delta x$ 的质元，其运动满足

$$y=A \cos (\omega t-k x)$$

当波沿弦线传播时，该质元的动能为

$$\Delta E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \Delta m v^{2}=\frac{1}{2} \Delta m \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}(\omega t-k x)$$

质元的势能为

$$\Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}(\omega t-k x)=\frac{1}{2} \Delta m \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}(\omega t-k x)$$

式中 $\Delta m=\rho_{l} \Delta x$，总机械能

$$\Delta E=\Delta E_{\mathrm{k}}+\Delta E_{\mathrm{p}}=\Delta m \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}(\omega t-k x)$$

• 在波的传播过程中，质元的动能、势能以及总机械能均随时间做周期性变化，并且变化是同相的，即同时达到最大，同时达到最小。
• 当质元处于平衡位置附近而具有最大动能时，该质元的相对形变也最大，因而同时也具有最大势能，此时质元的总机械能最大
• 当质元处于最大位移处附近时，动能最小，该质元的相对形变也最小，此时质元的总机械能最小。
• 任一质元在波动过程中机械能不守恒。在弹性介质中，质元 $\Delta m$ 不是孤立的，上、下游质元都对它有弹性力的作用，并要对它做功。在与相邻质元间不断进行的能量交换过程中，上游质元带动了下游质元的运动并传递了能量。因此说波动的过程也是传递能量的过程。

波的能量密度

在波的传播过程中，质元的质量 $\Delta m=\rho \Delta V$，其中 $\rho$ 为质元的体密度。因此其动能、势能和总机械能都与质元的体积成正比。通常用单位体积介质所具有的能量 $w$ 来表示介质中波的能量的分布情况，称为波的能量密度，即

$$w=\frac{\Delta E}{\Delta V}=\rho \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}(\omega t-k x)$$

能量密度在一个周期内的平均值为

$$\bar{w}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} w \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \rho \omega^{2} A^{2}$$

• 波的平均能量密度与振幅、频率及介质的密度有关。
• 上述结论虽然是通过一个特例得出的，但对所有弹性波都成立。

能流和功率

单位时间内，波通过与其传播方向相垂直的某一面积 $S$ 的能量，用 $P$ 表示，其单位为 $\mathrm{J} / \mathrm{s}$，由此可知能流即为通过某一面积的波的功率。若波的传播速度为 $\boldsymbol{u}$，可作一柱体，其上下底面与波传播方向相垂直，高为 $u \Delta t$，则在 $\Delta t$ 时间内通过面积 $S$ 的能量就是该柱体内波的能量，因此有

$$P=\frac{w S u \Delta t}{\Delta t}=u w S$$

取能流 $P$ 的时间平均值即得单位时间内波通过与其传播方向相垂直的某一面积 $S$ 的平均能量，称为平均能流，即

$$\bar{P}=u \bar{w} S$$

或用矢量

$$\bar{P}=\boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{S}=I S \cos \theta$$

• 式中，面积矢量 $\boldsymbol{S}$ 的方向沿其法线方向，$\theta$ 为 $\boldsymbol{S}$ 与 $\boldsymbol{u}$ 之间的夹角。

波通过与其传播方向相垂直的单位面积的平均能流称为平均能流密度或波的强度，用 $I$ 表示，即

$$I=\frac{\bar{P}}{S}=\bar{w} u=\frac{1}{2} \rho u \omega^{2} A^{2}$$

或用矢量

$$\boldsymbol{I}=\overline{w} \boldsymbol{u}=\frac{1}{2} \rho \boldsymbol{\omega}^{2} A^{2} \boldsymbol{u}$$

• 在国际单位制中，波的强度 $I$ 的单位是 $\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}$

对于稳定传播的波，若介质无吸收（即波在介质中传播时无能量损失），则单位时间内通过不同波面的能量相等，即

$$I_{1} S_{1}=I_{2} S_{2} \mathrm{或} \frac{1}{2} \rho u \omega^{2} A_{1}^{2} S_{1}=\frac{1}{2} \rho u \omega^{2} A_{2}^{2} S_{2}$$

• 对于平面波而言，由于 $S_{1}=S_{2}$，因此有 $A_{1}=A_{2}$，即平面波振幅在传播过程中保持不变。
• 若为球面波，则由于 $S_{1}=4 \pi r_{1}^{2}$，$S_{2}=4 \pi r_{2}^{2}$，其中，$r_{1}$ 和 $r_{2}$ 分别为球面波两个不同波面的半径。因此有 $A_{1} r_{1}=A_{2} r_{2}$，可知振幅 $A \propto 1 / r$，振幅随传播距离而反比地下降，球面简谐波可表示为 $$y=\frac{A_{0}}{r} \cos (\omega t-k r)$$ 式中 $A_{0}$ 为距点波源某一位置处的振幅。必须说明，当 $r$ 很小时，需计及波源的大小、形状，此时上式不再成立。
• 若为柱面波，则振幅与 $r$ 的关系为 $A \propto 1 / \sqrt{r}$

声强

声波是频率范围在 $20 \mathrm{~Hz} \sim 20 \mathrm{kHz}$ 之间能够引起入的听觉的机械波。频率高于 $20 \mathrm{kHz}$ 的声波称为超声波，低于 $20 \mathrm{~Hz}$ 的称为次声波。
声波的强度称为声强。入的听觉不仅与声波的频率范围有关，还与声强的大小有关。对多数入而言，声波频率为 $1000 \mathrm{~Hz}$ 时，能听到的最弱的声强约为 $10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}$，能承受的最强的声强约为 $1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}$，大于此值的声强通常只能引起入耳的痛觉。

规定以 $1000 \mathrm{~Hz}$ 的闻阈为标准声强 $I_{0}\left(I_{0}=10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\right)$，以某一声强值 $I$ 与 $I_{0}$ 之比的对数作为声强的量度，即

$$L=\lg \frac{I}{I_{0}}$$

其单位为“贝尔”。当以“贝尔”为单位时，从闻阈到痛阈间只有 $13$ 个分级，可见“贝尔”的单位太大，分级过粗。因此以十分之一“贝尔”即“分贝”（$\mathrm{dB}$）作为声强级的单位，即

$$L=10 \lg \frac{I}{I_{0}}(\mathrm{~dB})$$

惠更斯原理

波阵面（波前）上的每一点都可以看作新的波源（称为子波源），其振动频率与波源相同，这些子波源向外发出球面子波，下一个时刻的波阵面就是这些球面子波的包络面。

波的衍射

（Todo）

波的折射

设波在介质 $I$ 中的波速为 $u_{1}$，在介质 $II$ 中的波速为 $u_{2}$，则

$$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{u_{1}}{u_{2}}$$

此即折射定律，即入射角与折射角的正弦之比等于波在两种介质中的波速之比，且入射线、折射线和界面法线均在同一平面内。

叠加原理

当多个波源发出的波在空间传播时，在这些波的重叠区域内这些波将保持自己的特征（频率、波长，振幅、振动方向等）而沿各自的传播方向传播，即波的传播具有独立性。在波的重叠区域内任意一个质元的运动将是各个波在该处所引起的该质元运动的矢量和，这一规律称为波的叠加原理。

叠加原理的数学依据是线性微分方程的解具有可叠加性。当描述振动的动力学微分方程是线性方程时，振动具有可叠加性。因此，波的叠加原理成立的前提是，描述波动的动力学微分方程是线性方程。可以证明，若

$$\frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial t^{2}}=u^{2} \frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial x^{2}},\frac{\partial^{2} y_{2}}{\partial t^{2}}=u^{2} \frac{\partial^{2} y_{2}}{\partial x^{2}}$$

则一定有

$$\frac{\partial^{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\partial t^{2}}=u^{2} \frac{\partial^{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\partial x^{2}}$$

即两列波的叠加满足

$$y=y1+y2$$

这称为线性叠加原理。

• 当波动的动力学方程不是线性方程时，上述叠加原理不成立。
• 强度很大的波，例如强激光、爆炸后的冲击波等非线性波，就不满足波的线性叠加原理。

干涉

一般而言，几列波在一点叠加时，该处质元的合运动情况与各波在该处引起的振动的方向、频率、相位、振幅等因素有关，可能非常复杂。但有一种比较简单而又十分重要的波的叠加情况，即两列频率相同、振动方向相同、在叠加位置相位差恒定的波的叠加。这时，在两列波的重叠区域内，有些位置的合振动始终加强，有些位置的合振动始终减弱或完全抵消。这种现象称为波的干涉现象。

设波源 $\mathrm{S}_{1},\mathrm{S}_{2}$ 的振动方向、频率相等，初相位分别为 $\varphi_{1},\varphi_{2}$，那么两波源的振动方程可表示为

$$\begin{array}{c} y_{1}= A_{1} \cos \left(\omega t+\varphi_{1}\right)\\ y_{2}=A_{2} \cos \left(\omega t+\varphi_{2}\right) \end{array}$$

它们发出的两列波在点 $P$ 相遇，若点 $P$ 与两波源之间的距离为 $r_{1},r_{2}$，则两波在点 $P$ 引起的振动分别为

$$\begin{array}{c} y_{1}=A_{1} \cos \left(\omega t-k r_{1}+\varphi_{1}\right)\\ y_{2}=A_{2} \cos \left(\omega t-k r_{2}+\varphi_{2}\right) \end{array}$$

发生干涉的条件：

$$\varphi_2-\varphi_1=k\Delta r$$

式中 $\Delta r$ 为空间某点到两光源的波程差，此时干涉极大、极小的条件分别为

$$\Delta r=\left\{\begin{array}{ll} \pm n \lambda & \text{干涉相长} \\ \pm(2 n+1) \frac{\lambda}{2} & \text{干涉相消} \end{array}\right.\quad (n=0,1,2,\cdots)$$

驻波

驻波是指两列振幅相同的相干波在一直线上沿相反方向传播时，在两个波的重叠区域产生的干涉现象。
设两振幅相等的相干波分别沿 $x$ 轴的正方向和负方向传播，其波表达式分别为

$$y_{1}=A \cos (\omega t-k x+\varphi_1),y_{2}=A \cos (\omega t+k x+\varphi_2)$$

在 $x$ 轴上合成波的表达式为

$$y=y_{1}+y_{2}=2 A \cos \left(k x+\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right) \cos \left(\omega t+\frac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\right)$$

即

$$y=f(x) g(t)$$

• 其中 $f(x)$ 可理解为 $x$ 位置处质元的振幅，而 $g(t)$ 为振动项。
• 位于 $x$ 轴上各不同位置处的质元都在做简谐振动，但振幅随 $x$ 有同期性变化。这样的波已经不具有行波的特性，而是 $x$ 轴上不同位置处质元的集体振动，不存在振动相位的传播，这样的波称为驻波，这是波干涉的一个特殊现象。
• 驻波形成后，$x$ 轴上不同位置的质元都在做频率相同的简谐振动，但各质元的振幅不同
  • 在 $$k x+\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}=\pm n \pi \quad(n=0,1,2,\cdots)$$ 处，质元的振幅最大，为 $2 A$，称为波腹；
  • 在 $$k x+\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}=\pm(2n+1)\frac{\pi}{2} \quad(n=0,1,2,\cdots)$$ 处，质元的振幅为零，这些质元始终保持静止，称为波节。
• 相邻波腹或相邻波节间距离 $$\Delta x=\frac{\lambda}{2}$$
• 相邻波腹与波节间距离 $$\Delta x=\frac{\lambda}{4}$$

驻波的能量

• 在某一时刻，位于各不同 $x$ 位置的所有质元可以均位于平衡位置，此时由于各相邻质元间均无相对位移，因此驻波的能量为各质元的动能，且能量密度最大值位于波腹处，波节处能量密度为零。
• 此后经过 $\frac{1}{4}$ 周期，所有质元均离开平衡位置而运动到各自的最大振幅位置，此时各质元的速度均为零而相互间的相对位移达到最大，因此，驻波的能量形式为势能。由于在波节附近相对位移最大而波腹处相对位移趋于零，因此波节处能量密度最大而波腹处能量密度为零。
• 每隔 $\frac{1}{4}$ 周期，驻波能量由动能转化为势能，或由势能转化为动能，而空间的能量分布则由波腹向波节流动，或由波节向波腹流动，因此在一个周期内平均能流为零。
• $$\begin{aligned} \overline{\mathrm{d} E_{p}} & =\mu \mathrm{d} x\left(A \omega \sin \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)^{2} \\ \overline{\mathrm{d} E_{k}} & =\mu \mathrm{d} x\left(A \omega \cos \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)^{2} \\ \overline{\mathrm{d} E} & =\overline{\mathrm{d} E_{k}}+\overline{\mathrm{d} E_{p}}=\mu \mathrm{d} x(A \omega)^{2} \end{aligned}$$ 一个质点的平均机械能守恒

简正模式

在一根两端固定的张紧的弦中形成的驻波，其两个固定端必定为波节，因此，要在弦线上形成驻波，对波长就有一定的限制，若弦线长度为 $l$，则

$$l=n \frac{\lambda}{2},\lambda=\frac{2 l}{n},\quad(n=1,2,\cdots)$$

即只有特定波长的波才能在弦线上形成驻波。由 $u=\lambda \nu$ 可知，相应的频率为

$$\nu_{n}=\frac{u}{\lambda_{n}}=\frac{n}{2 l} u$$

式中 $u$ 为弦线中的波速，由弦线的弹性和惯性决定。与 $n=1$ 相对应的频率 $\nu_{1}$ 称为基频，其他的依次称为 $2$ 次、$3$ 次、$\cdots \cdots$ 谐频（对声驻波则分别称基音和泛音）。基频和谐频也称为弦的简正频率或固有频率，所对应的驻波称为弦的简正模。对于一端固定，一端自由的情况，也可做同样的讨论，此时弦长应满足 $l=n \frac{\lambda}{2}+\frac{\lambda}{4}$，相应的频率为

$$\nu_{n}=\frac{2 n+1}{4 l} u \quad(n=0,1,2,\cdots)$$

半波反射和全波反射

半波损失指的是波从波疏介质射向波密介质时，在反射过程中产生的 $\pi$ 的相位跃变。设入射波和反射波分别为

$$\begin{array}{l} y_{1}=A_{1} \cos \left(\omega t-\frac{2 \pi x}{\lambda}+\varphi_{1}\right)=A_{1} \cos \Phi_{1} \\ y_{2}=A_{1} \cos \left(\omega t+\frac{2 \pi x}{\lambda}+\varphi_{2}\right)=A_{1} \cos \Phi_{2} \end{array}$$

设反射地点为 $x=L$，则有

$$\left(\Phi_{1}-\Phi_{2}\right)_{x=L}=\pm \pi$$

• 有半波损失的反射也称为固定端反射，反射面处为波节
• 无半波损失的反射也称为自由端反射，反射面处为波腹

多普勒效应

多普勒效应是指当波源与接收器之间有相对运动时，接收器接收到的频率 $\nu_{R}$ 与波源频率 $\nu$ 不同的现象。
设波源 $\mathrm{S}$ 相对介质的运动速度大小为 $v_{S}$，观察者 $\mathrm{R}$ 相对介质的运动速度大小为 $v_{R}$，波在介质中的传播速度大小为 $u$，波源的频率为 $\nu$（周期为 $T$）。所谓接收器接收到的频率 $\nu_{R}$ 是指单位时间内通过接收器的完整波长数，即接收器所测得的波速与波长之比。

由上述讨论可知，当波源和接收器同时运动时，由于波源运动，接收器测得的波长为 $\lambda^{\prime}=\left(u \mp v_{\mathrm{S}}\right) T$；由于观察者运动，接收器测得的波速为 $u^{\prime}=u \pm v_{\mathrm{R}}$，可得接收器接收到的频率

$$\nu_{\mathrm{R}}=\frac{u^{\prime}}{\lambda^{\prime}}=\frac{u \pm v_{\mathrm{R}}}{u \mp v_{\mathrm{S}}}\nu$$

• 当波源向着接收器方向运动时，上式的分母中取负号，反之取正号；
• 当接收器向着波源方向运动时，式上式的分子中取正号，反之取负号。
• 如果波源和接收器的运动不在两者的连线上，则上式中的 $v_{S}$、$v_{\mathrm{R}}$ 为波源和接收器的速度在两者连线方向上的分量。

典例：测速

固定波源发出频率为 $\nu$ 的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率为 $\nu’’$。已知空气中的声速为 $u$，车速为

$$v_{0}=\frac{\nu^{\prime \prime}-\nu}{\nu^{\prime \prime}+\nu} u$$

第十八章 光的偏振

线偏振光

在光的传播过程中，如果光振动矢量 $\boldsymbol{E}$ 始终保持在一个确定的平面内（见图 18-1），这样的光称为线偏振光，光矢量振动所在平面称为偏振面。在与光传播方向相垂直的平面内，线偏振光的偏振面表现为一直线（见图 18-2）。也可用图 18-3 中的短线和点分别表示在纸面内和垂直于纸面的光矢量的振动方向。

线偏振光可以沿着与光传播方向垂直的任意方向上分解成两束振动方向相互垂直、同相位（或相位差为 $\pi$）的线偏振光。

椭圆偏振光

迎着光的传播方向看，在 $Oyz$ 平面内光矢量绕着光的传播方向旋转，其旋转角速度对应光的角频率；光矢量端点的轨迹是一个椭圆（或圆），称这种光为椭圆（或圆）偏振光。当迎着光的传播方向看时，如果光矢量的旋转方向做顺时针转动时，称为右旋椭圆（或圆）偏振光，反之则为左旋椭圆（或圆）偏振光。

椭圆偏振光和圆偏振光都可看作是由两个振动面相互垂直，存在确定相位差的线偏振光的叠加而成的，设沿 $y$ 和 $z$ 方向振动的两偏振光分别为

$$\begin{array}{l} E_{y}=E_{y 0} \cos \left[\omega t-k x+\varphi_{1}\right] \\ E_{z}=E_{z 0} \cos \left[\omega t-k x+\varphi_{2}\right] \end{array}$$

则当 $\Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1} \neq 0,\pi$ 时，两线偏振光的合成结果为椭圆偏振光；当 $\Delta \varphi=\pm \frac{\pi}{2}$ 且两相互垂直的线偏振光振幅相等时，合成结果为圆偏振光；当 $\Delta \varphi=0$，$\pi$ 时，合成结果为线偏振光。因此，线偏振光、圆偏振光都是椭圆偏振光在一定条件下的特例。

自然光

自然光可以沿着与光传播方向垂直的任意方向上分解成两束振动方向相互垂直、振幅相等、无固定相位差的非相干线偏振光。

部分偏振光

部分偏振光可分解为两束振动方向相互垂直的、不等幅的、不相干的线偏振光。部分偏振光也可以看成自然光和线偏振光的混合。

• 当 $\Delta \varphi \neq 0,\pi$ 时为椭圆偏振光。
• 当 $\Delta \varphi=0,\pi$ 时为线偏振光。
• 当 $\Delta \varphi=\pm \frac{\pi}{2}$ 时为正椭圆偏振光。
• 当 $\Delta \varphi=\pm \frac{\pi}{2}$，且振幅相等时为圆偏振光。
• 当 $0<\Delta \varphi<\pi$ 时为右旋椭圆偏振光。
• 当 $\pi<\Delta \varphi<2 \pi$ 时为左旋椭圆偏振光。

获得线偏振光的常用方法

• 利用物质的二向色性制成偏振片(器)
  二向色性某些物质能吸收某一方向的光振动，而只让与这个方向垂直的光振动通过，这种性质称二向色性。
• 利用反射光和折射光的偏振来产生（反射或玻璃片堆）
• 利用各向异性晶体的双折射特性制成偏振棱镜

偏振片

• 由于材料在电矢量振动方向上的选择性吸收，使得入射的自然光在一个方向上的振动成分被吸收而另一个与之垂直方向上的振动不被吸收，从而得到仅沿某特定方向振动的线偏振光。这样的元件就称为偏振片，偏振片上能通过光矢量振动的方向称偏振化方向。
• 从偏振片 $P_{1}$ 出射的线偏振光强度 $I_{1}=\frac{I_{0}}{2}$。
• 该线偏振光再入射到偏振片 $\mathrm{P}_{2}$ 上
  • 如果 $\mathrm{P}_{2}$ 的偏振化方向与 $\mathrm{P}_{1}$ 的偏振化方向平行，则透过 $P_{2}$ 的光强最强，仍为 $I_{1}$
  • 如果两者的偏振化方向相互垂直，则光强为 $I_{1}$ 的线偏振光将无法通过 $\mathrm{P}_{2}$，由 $\mathrm{P}_{2}$ 出射的光强为零，称为消光。
• 将 $\mathrm{P}_{2}$ 绕光的传播方向慢慢转动，可以看到透过 $\mathrm{P}_{2}$ 的光强将随 $\mathrm{P}_{2}$ 的转动而出现明暗变化，可见偏振片 $\mathrm{P}_{2}$ 可起到检验入射光是否为偏振光的作用，故称为检偏器。

马吕斯定律

设 $A_{1}$ 为入射线偏振光光矢量的振幅，$L_{2}$ 是检偏器 $P_{2}$ 的偏振化方向。入射光矢量的振动方向与 $L_{2}$ 方向间的夹角为 $\alpha$，将光振动分解为平行于 $L_{2}$ 和垂直于 $L_{2}$ 的两个分振动，它们的振幅分别为 $A_{1} \cos \alpha$ 和 $A_{1} \sin \alpha$。因为只有平行分量可以透过偏振片 $P_{2}$，所以透射光的振幅 $A_{2}$ 和光强 $I_{2}$ 分别为

$$A_{2}=A_{1} \cos \alpha$$

和

$$I_{2}=I_{1} \cos ^{2} \alpha$$

上式称为马吕斯定律，

• 当 $\alpha=0^{\circ}$ 或 $180^{\circ}$ 时，$I_{2}=I_{1}$，光强最强。
• 当 $\alpha=90^{\circ}$ 或 $270^{\circ}$ 时，$I_{2}=0$，这时没有光从检偏器射出，即此处为消光位置。

检偏

可以利用偏振片来检验一束光是否为线偏振光，其方法是让待检验的光垂直入射到一偏振片，以光线为轴旋转偏振片，并观察出射光强。如果在旋转偏振片的过程中出射光强出现强弱变化，并存在消光位置，则一定是线偏振光。

• 自然光通过旋转的检偏器，光强不变。
• 线偏振光通过旋转的检偏器，光强发生变化，有消光现象。
• 部分偏振光通过旋转的检偏器，光强发生变化, 没有消光现象。

反射光和折射光的偏振

自然光在两各向同性媒介分界面上反射和折射时，反、折射光均成为部分偏振光。反射光中垂直入射面的光振动多于平行入射面的光振动，折射光反之。

布儒斯特定律

当自然光以某一特定的入射角 $\theta_{\mathrm{B}}$ 入射时，折射光是部分偏振光，而反射光为振动方向垂直于入射面的线偏振光，且此时反射光与折射光之间的夹角恰为 $\frac{\pi}{2}$。这一特殊入射角 $\theta_{\mathrm{B}}$ 称为布儒斯特角（也称为起偏角），其大小为

$$\theta_{\mathrm{B}}=\arctan \frac{n_{2}}{n_{1}}$$

当自然光按起偏角入射时，在经过一次反射、折射后，反射光虽然是完全偏振光，但光强很弱，如对于单独一个玻璃表面来说，垂直于入射面振动的光能只被反射一小部分，因此折射光是部分偏振光。在实际应用中，为了增强反射光的强度和折射光的偏振化程度，可以把玻璃片叠起来，成为玻璃片堆，当光经过多个表面的折射和反射后，折射光与反射光都是线偏振光。利用玻璃片堆在起偏角下的反射和折射，都可以获得偏振光。同样，利用它也可以检查偏振光。

晶体的双折射

实验表明，晶体内的这两束折射光线中一束遵守通常的折射定律，称为寻常光，通常用 $o$ 表示（称为 $o$ 光）。另一束光不遵守折射定律，称为非常光，用 $e$ 表示（称为 $e$ 光）。

光轴

• 当改变光的入射方向时，可以发现在晶体内部有一个特殊方向，当光沿着这个方向传播时将不产生双折射现象，我们把这个特殊方向称为晶体的光轴。
• 光轴并不是在晶体内的某一个轴，而是一个方向，晶体内所有平行于此方向的直线都是光轴。
• 在光轴方向上 $o$ 光和 $e$ 光的传播速度相同。
• 某些晶体（如方解石、石英等）内只有一个这样的方向，这些晶体称为单轴晶体；而某些晶体（如云母、硫黄等）内有两个这样的方向，称为双轴晶体。这里仅讨论单轴晶体的情况。
• 在晶体中，我们把包含光轴和任一已知光线所组成的平面称为晶体中该光线的主平面。由 $o$ 光和光轴所组成的平面，称为 $o$ 光的主平面；由 $e$ 光和光轴所组成的平面，称为 $e$ 光的主平面。
• $o$ 光的振动方向垂直于它自己的主平面（于是一定垂直于光轴）；$e$ 光的振动方向平行于它自己的主平面（不一定垂直于光轴）

原理

• 单轴晶体，其中的电子存在两个固有的振动频率，一个是与光轴平行方向的振动 $\omega_1$，另一个是与光轴垂直方向的振动 $\omega_2$。
• $o$ 光传播时，电矢量垂直于光轴，所以沿各个方向传播时，振动频率相同，则速度也相同，其波面为球面。
• $e$ 光在不同方向传播时，电矢量相对于光轴的方向不同，其振动频率也不同，所以速度也不同，其波面为旋转椭球面。
• 由于 $e$ 光在不同方向传播速度不同，折射率也不同。定义 $e$ 光的主折射率如下： $e$ 光沿与光轴垂直方向传播（光矢量和光轴平行）时的速度为 $v_e$，则其主折射率为 $n_e=\frac{c}{v_e}$
• 易知 $o$ 光的折射率与方向无关，折射率为 $n_o=\frac{c}{v_o}$
• $o$ 光和 $e$ 光在晶体的光轴方向传播速度相等，在其他方向两者的传播速度不相等。
• 根据两种光折射率的相对大小，将晶体分为正晶体和负晶体。$v_e>v_o$ 的为负晶体，$v_e<v_o$ 的为正晶体

惠更斯原理图解法

略

波片

设光轴平行于表面的单轴晶体薄片厚度为 $d$，由于 $\mathrm{o}$ 光和 $\mathrm{e}$ 光的传播速度不同，即折射率不同，因此由晶体出射的两束光之间将存在着一定的光程差 $\delta=\left(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}\right) d$，相应的相位差为

$$\Delta \varphi=\frac{2 \pi}{\lambda} \delta=\frac{2 \pi}{\lambda}\left(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}\right) d$$

在实验室中经常用到以上述方式切割而成的晶片，称为波片（或者波晶片、相位延迟片）。

• 当波片的厚度 $d$ 满足 $$\left(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}\right) d=\frac{\lambda}{4}$$ 时，两束出射光间的相位差 $\Delta \varphi=\frac{\pi}{2}$，称为四分之一波片。
• 当波片的厚度满足 $$\left(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}\right) d=\frac{\lambda}{2}$$ 时，即两束出射光间的相位差 $\Delta \varphi=\pi$ 时，称为二分之一波片（或半波片）。
• 必须注意无论是四分之一波片还是二分之一波片，都是对一定的波长而言的。

四分之一波片的性质

原始	通过之后
线偏振光	正椭圆偏振光
线偏振光（$\alpha = \frac{\pi}{4}$）	圆偏振光
圆偏振光	线偏振光
主轴与波片光轴平行的正椭圆偏振光	线偏振光

二分之一波片的性质

线偏振光通过二分之一波片后仍为线偏振光，振动方向转过 $2\alpha$ 角

偏振光的检验

第十七章 光的干涉和衍射

★干涉总结

光程

当在一种均匀介质中传播时，光程定义为媒质折射率 $n$ 与光的几何路程 $r$ 之积，即

$$L=\sum n_i r_i$$

• 光经过相同的光程所需要的时间是相等的

光程差与相位差之间关系：

$$\Delta \varphi = \frac{2\pi \delta}{\lambda}$$

光波的叠加

设两个振动方向相同、频率相同的单色光在空间某一点相遇，它们的光矢量大小分别为

$$E_{1}=E_{10} \cos \left(\omega t+\varphi_{10}\right),\quad E_{2}=E_{20} \cos \left(\omega t+\varphi_{20}\right)$$

叠加后合成的光矢量的大小为 $E=E_{1}+E_{2}$。合成光矢量的量值为

$$E=E_{0} \cos \left(\omega t+\varphi_{0}\right)$$

式中

$$E_{0}=\sqrt{E_{10}^{2}+E_{20}^{2}+2 E_{10} E_{20} \cos \left(\varphi_{20}-\varphi_{10}\right)}$$

在观测时间内，总的平均光强 $I$ 正比 $E^{2}$，即

$$I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cdot \overline{\cos \left(\varphi_{20}-\varphi_{10}\right)}$$

式中 $I_1$ 和 $I_2$ 分别为两束光单独存在时的光强。

非相干叠加

如果这两束同频率的单色光是分别由两个独立的普通光源发出的，由于光源中原子或分子发光的独立性和随机性，

$$\overline{\cos \left(\varphi_{20}-\varphi_{10}\right)}=0$$

即

$$I=I_{1}+I_{2}$$

上式表明两束光重合后的光强等于两束光分别照射时的光强 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 之和，我们把这种情况称为光的非相干叠加。

相干叠加

如果这两束光来自同一光源而使它们的相位差始终保持恒定，则其合成后的光强为

$$I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \left(\varphi_{20}-\varphi_{10}\right)$$

此时 $\cos \left(\varphi_{10}-\varphi_{10}\right)$ 将不随时间而变，$2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \left(\varphi_{20}-\varphi_{10}\right)$ 被称为干涉项，这种情况称为光的相干叠加。

干涉

由于两光束间存在着相位差，合成后的光强不仅取决于两束光的光强 $I_{1}$ 和 $I_{2}$，还与两束光之间的相位差 $\Delta \varphi$ 有关。当两束光在空间不同位置相遇时，由于这些位置离光源的距离不同，因此其相位差 $\Delta \varphi$ 也将不同，在空间各个不同点处的光强将发生连续变化，即光强在空间重新分布。

• 当 $\Delta \varphi=\pm 2 k \pi$ 或者 $\delta = k \lambda$ $(k=0,1,2,\cdots)$ 时，$I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}}$，在这些位置光强最大，称为干涉相长。
• 当 $\Delta \varphi=\pm(2 k+1) \pi$ 或者 $\delta = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$ $(k=0,1,2,\cdots)$ 时，$I=I_{1}+I_{2}-2 \sqrt{I_{1} I_{2}}$，在这些位置光强最小，称为干涉相消。

如果 $I_{1}=I_{2}$，那么合成后的光强为

$$I=2 I_{1}(1+\cos \Delta \varphi)=4 I_{1} \cos ^{2} \frac{\Delta \varphi}{2}$$

• 把能产生相干叠加的两束光称为相干光，相干叠加必须满足振动频率相同、方向相同、相位差恒定的条件。（补充条件：光强差不能太大）
• 只有从同一光源的同一部分发出的光，通过某些装置进行分束后，才能获得符合相干条件的相干光。
• 具有确定的相位差是指两个光源的初相位之差 $\varphi_2-\varphi_1$ 确定。若两个光源的初相位相等，则干涉极大或极小仅由场点到源点的光程差决定。
• 产生干涉的主要方法：
  • 分波阵面法：利用波场中的任一个波前分离出两列波。
  • 分振幅法：利用两个反射面产生两束反射光。
  • 分振动面法：利用某些晶体的双折射性质，将一束光分解为振动面垂直的两束光。

时间相干性

对确定的点 P，若前后两时刻传来的光波隶属于同一波列，则它们是相干光波，称该光场具有时间相干性。

• 相干长度（波列长度）：相干叠加时的最大光程差
• 相干时间：与相干长度对应的光传播时间

空间相干性

光场中，在空间两点提出来的两个子光源 $s_1$ 和 $s_2$ 是相干光源，则光场具有空间相干性

杨氏双缝

杨氏双缝实验的装置如图所示。在普通单色光源后放一狭缝 $S$，$S$ 相当于一个线光源，$\mathrm{S}$ 后再放置与 $\mathrm{S}$ 平行而且等距离的两平行狭缝 $\mathrm{S}_{1}$ 和 $\mathrm{S}_{2}$，两缝间距 $d$ 很小。由 $\mathrm{S}$ 发出的光的波阵面同时到达 $\mathrm{S}_{1}$ 和 $\mathrm{S}_{2}$，$\mathrm{~S}_{1}$ 和 $\mathrm{S}_{2}$ 在同一波阵面上截取了两个子波源，构成两个相干光源，从 $\mathrm{S}_{1}$ 和 $\mathrm{S}_{2}$ 发出的光波在空间叠加产生干涉现象。

• 光程差

  $$\delta=\sum_{2} n_{i} r_{i}-\sum_{1} n_{i} r_{i}$$

  当 $d$ 远小于 $L$ 时，

  $$\delta \approx \frac{nx d}{L}$$

• 光强分布

  $$I=4 I_{0} \cos ^{2}\left(\frac{\pi d}{\lambda} \sin \theta\right)$$
• 当光程差为波长的整数倍，即 $\delta=\pm m \lambda$ 时，两光波的合振动加强，屏上 $P$ 点处出现干涉明条纹。其位置为 $$x_{m}=\pm m \frac{L \lambda}{d} \quad m=0,1,2,\cdots$$ 式中 $m$ 为条纹的级次。$m=0$ 的明条纹称为零级明纹或中央明纹，对应的光程差为零，位于 $x=0$ 处。在其两侧对称地分布着 $m=1,2,3,\cdots$ 级明条纹。

• 当光程差为半波长的奇数倍，即 $\delta=\pm(2 m+1) \frac{\lambda}{2}$ 时，两光波的合振动减弱，屏上 $P$ 点处为干涉暗条纹，其位置为

  $$x_{m}=\pm(2 m-1) \frac{L \lambda}{2 d} \quad m=1,2,\cdots$$

• 屏上相邻两明条纹（或暗条纹）间的距离均为

  $$\Delta x=x_{m+1}-x_{m}=\frac{L \lambda}{d}$$

干涉条纹的可见度

随着 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 相对大小差别的增加，明暗条纹间的光强差变小，条纹的明暗变化越来越不明显，$I_{1}$ 和 $I_{2}$ 相差越大，所观察到的干涉条纹越模糊，以致最后将无法观察到干涉条纹。可以用干涉条纹的可见度来描述这种情况，可见度的定义为

$$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{2 \sqrt{I_{1} I_{2}}}{I_{1}+I_{2}}$$

• 式中 $I_{\mathrm{max}}$ 与 $I_{\mathrm{min}}$ 分别为干涉条纹中相邻的最大光强和最小光强，$I_{1}$，$I_{2}$ 分别为参与干涉的两束光的光强。
• $0 \leqslant V \leqslant 1$
• 当 $I_{1}=I_{2}$ 时，$V=1$；当 $I_{1} \ll I_{2}$ 时，$V \rightarrow 0$
• 当两束光的光强相差太大时，虽然从理论上说仍能产生干涉，但此时干涉相长与干涉相消间的光强差很小，背景十分明亮，条纹会很不清晰，以致无法分辨。

光源宽度对干涉条纹的影响

当光源宽度为 $b$ 时，错开的总距离 $\Delta x_{\mathrm{MN}}=b L / D$，即光源的宽度越大，可见度越小。当这一距离恰好等于单个线光源所产生的干涉条纹间距时，干涉条纹完全消失，此时有 $b= D \lambda / d$。这说明当双缝间距及单色光源离狭缝间距一定时，要在屏上获得干涉条纹，对光源的宽度有一定要求，即光源宽度必须满足 $b<D \lambda / d$。

换句话说，狭缝间距 $d>d_{\mathrm{min}}$ 时两束光就不相干了。因此，$d_{\mathrm{min}}=D \lambda / b$ 作为一个极限距离，可以成为能否产生干涉的标志，称为相干距离。

光源单色性对干涉条纹的影响

• 通常用强度为峰值一半处的两个频率之间的频率间隔 $\Delta \nu$ 或对应的波长间隔 $\Delta \lambda$（称为谱线宽度，简称线宽）来表征单色性的好坏，线宽越小，单色性越好。
• 考虑屏上一点 $P$，当光程差增加到某一数值 $L_{\mathrm{max}}$ 时干涉条纹刚好消失（即可见度刚好为零），则可以利用这一数值来表征非单色光源的相干性质。这种与光波的线宽 $\Delta \lambda$ 有关的相干性质称为光的时间相干性，而把 $L_{\mathrm{max}}$ 称为光的相干长度。
• $$L_{\max }=\frac{\lambda_{0}^{2}}{\Delta \lambda}$$ 光的单色性越好，相干长度就越长，在光程差较大时仍能观察到干涉条纹，从而能得到较高级次的干涉条纹。

薄膜干涉

等倾干涉条纹

• 几何光程差（不考虑半波损失） $$\delta=2 d \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2} \sin ^{2} i}$$ 对于反射光干涉和透射光干涉都成立

条纹

$S$ 发出的沿不同方向传播的光只要以相同入射角 $i$ 入射到薄膜表面上，反射后的光线应该在同一圆锥面上，它们的反射光在屏上会聚在同一个圆周上。因此，整个干涉图样是由一些明暗相间的同心圆环组成的。

等倾干涉图样的特点：当入射角 $i$ 越大时，光程差 $\delta$ 越小，相应的干涉级也越低。半径越大的圆环对应的 $i$ 也越大，所以等倾干涉图样中心处的干涉级最高，越向外干涉级越低（内高外低）。此外，从中央向外各相邻明纹或相邻暗纹的间距也不同，呈内疏外密分布。

通常实验中所用的光源为面光源，面光源上每一点发出的光都要产生一组相应的干涉条纹，由于方向相同的平行光都被透镜会聚到焦平面上同一点，所以由光源上不同点发出的光线，只要入射角相同，它们所形成的条纹会重叠在一起。所以，干涉条纹的总光强是面光源上所有点发出的光产生的干涉条纹光强的非相干叠加，这样就将使干涉条纹更加明亮。

应用

• 增反膜最小厚度 $d=\frac{\lambda}{4n}$（有半波损失）
• 增透膜最小厚度 $d=\frac{\lambda}{4n}$（无半波损失）

劈形膜干涉

劈形膜由两个平整的表面组成，两个面之间有一个角度很小的夹角，简称劈尖。当平行光垂直入射时，在膜的上下表面产生的反射光可以在膜的上表面处相遇而产生干涉。由于劈的顶角很小，可以近似把在上下表面反射的两束光看作均沿垂直方向向上传播，由此可得两反射光之间的光程差为

$$\delta=2 n e+\frac{\lambda}{2}$$

由上式可看到，对应于一定的级次 $m$，无论是明条纹还是暗条纹都对应着一定的薄膜厚度 $e$，即在膜厚相同的地方是同一级条纹，正是由于这一特征，将其称之为等厚干涉条纹。由于劈形膜的厚度仅由距劈尖棱边的长度决定，因此劈尖干涉条纹应为平行于棱边的直条纹，在劈尖的棱边处为零级暗条纹，条纹级次随膜厚的增加而增加。若相邻两干涉条纹所对应的厚度分别为 $e_{m}$ 和 $e_{m+1}$，则相邻条纹所对应的薄膜厚度差为

$$\Delta e=e_{m+1}-e_{m}=\frac{\lambda}{2 n}$$

相邻条纹的间距为

$$l=\frac{e_{m+1}-e_{m}}{\sin \alpha}=\frac{\lambda}{2 n \sin \alpha} \approx \frac{\lambda}{2 n \alpha}$$

显然，干涉条纹是等间距的，而且 $\alpha$ 愈小，干涉条纹愈疏；$\alpha$ 愈大，干涉条纹愈密。如果劈尖的夹角太大，干涉条纹将密集得无法看清，因此劈尖干涉条纹只能在 $\alpha$ 很小时才能看到。

牛顿环

在中心接触点 $O$，由于膜厚为零，由上面的暗纹条件可知，牛顿环的中心是一个暗斑，由中心沿半径向外，由于膜厚的变化是非线性的，因此条纹将呈内疏外密分布。

$$e=\frac{r^{2}}{2 R}$$

由此得牛顿环明纹和暗纹的半径分别为

$$\begin{array}{l} r=\sqrt{\frac{(2 k-1) R \lambda}{2n}} \quad k=1,2,3,\cdots \quad \mathrm{明纹} \\ r=\sqrt{\frac{k R \lambda}{n}} \quad k=1,2,3,\cdots \quad \mathrm{暗纹} \\ \end{array}$$

对于第 $m$ 级和第 $m+k$ 级的暗环的半径，则可得透镜的曲率半径

$$R=\frac{1}{k \lambda}\left(r_{m+k}^{2}-r_{m}^{2}\right)=\frac{1}{k \lambda}\left(r_{m+k}-r_{m}\right)\left(r_{m+k}+r_{m}\right)$$

迈克尔逊干涉

M1与M2严格垂直——等倾干涉

当 $M_1$ 移动 $\Delta d$ 时，屏上干涉条纹移动（冒出或埋进）数目为 $\Delta N$：

$$\Delta d=\frac{\lambda}{2} \Delta N$$

• 光程差绝对值 $d$ 增大时条纹扩散，$d$ 减小时条纹收缩

M1与M2不垂直——劈尖等厚干涉

偏振光干涉

注意晶片是三角形的！

垂直时

• 光程差 $$\delta =\left(n_{o}-n_{e}\right) d+\lambda / 2$$
• 相邻条纹间距 $$l =\frac{\Delta d}{\sin \theta} \approx \frac{\lambda}{\left(n_{0}-n_{e}\right) \theta}$$

平行时

• 光程差 $$\delta =\left(n_{o}-n_{e}\right) d$$
• 相邻条纹间距 $$l =\frac{\Delta d}{\sin \theta} \approx \frac{\lambda}{\left(n_{0}-n_{e}\right) \theta}$$

夫琅禾费衍射

设位于衍射屏上的狭缝 $A$，$B$ 宽度为 $a$，单色平行光垂直于衍射屏入射到狭缝上，在其波阵面上只有位于 $A$，$B$ 之间的一部分未被挡住而可以通过狭缝继续向前传播。

由理论计算可得，观察屏上光强分布为

$$I=I_{0}\left(\frac{\sin \beta}{\beta}\right)^{2}$$

式中 $I_{0}$ 为恒量；$\beta=\frac{k a x}{2 f}=\frac{\pi a}{\lambda} \sin \theta$；$f$ 为透镜焦距。

• $\beta$ 的物理意义是单缝上下两束光相位差的一半

暗条纹分布

暗条纹的位置由 $\sin \beta=0$ 决定，即当 $\beta=m \pi$，$m=\pm 1,\pm 2,\cdots$ 时，屏上位置为暗条纹。由 $\beta$ 的定义可得暗条纹的角位置 $\theta$ 应满足

$$a \sin \theta=\pm m \lambda \quad m=\pm 1,\pm 2,\cdots$$

即对于暗条纹而言，$a \sin \theta$ 为波长的整数倍。

亮条纹分布

由于 $\sin ^{2} \beta$ 的值域为 $[0,1]$，显然 $\beta$ 小时光强 $I$ 较大，当 $\beta \rightarrow 0$（即 $\theta \rightarrow 0$）时，$I \rightarrow I_{0}$，这说明观察屏中央（$x=0$ 处）为明条纹，称为中央明条纹。
其他明条纹的角位置 $\theta$ 应满足 $a \sin \theta= \pm 1.43 \lambda,\pm 2.46 \lambda,\pm 3.47 \lambda,\cdots$，可见，近似地有

$$a \sin \theta=\pm(2 m+1) \lambda / 2,\quad m=1,2,\cdots$$

即对于明条纹而言，$a \sin \theta$ 近似为半波长的奇数倍。

中央明条纹宽度

$$\Delta x=x_{+1}-x_{-1}=2 \lambda f / a$$

其他明条纹宽度

$$\Delta x=x_{m+1}-x_{m}=\lambda f / a$$

圆孔的夫琅禾费衍射

当衍射屏上通光部分的形状为圆孔而非单缝时，则可在观察屏上得到夫琅禾费圆孔衍射图样。夫琅禾费圆孔衍射图样中心是一个大而亮的圆斑，称为艾里斑。艾里斑中集中了全部衍射光强的84%

光学仪器的分辨本领

• 由物体上的两个点发出的光线通过透镜（或入眼的瞳孔）时，将发生衍射，因此在透镜的焦平面（或入眼的视网膜）上所成的不是严格的几何像点，而是两个衍射斑（对于孔的形状为圆形的一般成像系统而言即为艾里斑）。由于这两束光是由物体不同部分发出的，因而为非相干光，在它们的重叠区域内合光强为两束光光强的简单相加。
• 如果这两个物点相距很近，以至两个艾里斑的绝大部分互相重叠，就有可能分辨不出是两个物点
• 如果艾里斑尺度足够小，或两者间距离足够远，那么两个艾里斑虽有重叠，我们也能分辨。
• 如果两个点光源相互接近时，它们在像平面（即观察屏）上形成的艾里斑也相互接近，重叠得越来越多，从而导致渐渐地就不能辨认出是两个点源的像。
• 总结发现，对一个光学仪器而言，如果一个点光源的衍射图样的中央最亮处刚好与另一个点光源的衍射图样的第一个最暗处相重合，这时两衍射图样重叠区的光强（凹陷处）约为单个衍射图样的中央最大光强的 80%，这样的可见度是一般人的眼睛刚能分辨出这是两个光点像的极限，规定此时这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
• 上述条件称为瑞利判据，将由此所得到的两物点间距作为光学仪器所能分辨的两物点间的最小距离。
• 对于直径为 $d$ 的圆孔衍射图样而言，艾里斑的角半径 $\theta_{0}$ 由下式给出 $$\theta_{0} \approx \sin \theta_{1}=1.22 \frac{\lambda}{d}$$ 最小分辨角 $\delta \theta$ 可表示为 $$\delta \theta=\theta_{0}=1.22 \frac{\lambda}{d}$$ 即最小分辨角的大小由仪器的孔径 $d$ 和光波的波长 $\lambda$ 决定。在光学中，常将光学仪器的最小分辨角的倒数称为仪器的分辨本领（或分辨率）。

光栅衍射

光栅是由 $N$ 个等间距、等宽度的平行狭缝所构成的光学元件。通常用缝宽 $a$、缝间距 $b$ 和光栅常数 $d=a+b$ 描述光栅的几何结构。当用单色平行光照射这 $N$ 条狭缝时，屏上的衍射光强分布为

$$I=I_{0}\left(\frac{\sin \left( \frac{\pi a}{\lambda} \sin \theta \right)}{\frac{\pi a}{\lambda} \sin \theta}\right)^{2}\left(\frac{\sin N \frac{\Delta \varphi}{2}}{\sin \frac{\Delta \varphi}{2}}\right)^{2}=I_{0}\left(\frac{\sin \beta}{\beta}\right)^{2}\left(\frac{\sin N \alpha}{\sin \alpha}\right)^{2}$$

式中 $\Delta \varphi=k d \sin \theta=\frac{2 \pi}{\lambda}d \sin \theta$ 为通过相邻缝后沿某衍射角 $\theta$ 传播的相邻两束相干光之间的相位差。

条纹分布

当 $\alpha=m \pi$，$m=0,1,2,\cdots$ 时，$I=N^{2} I_{0}$，光强取极大值，将满足该条件的极大称为主极大。此时 $k d \sin \theta_{m}=\pm 2 m \pi \quad m=0,1,2,\cdots$，即

$$d \sin \theta_{m}=\pm m \lambda \quad m=0,1,2,\cdots$$

上式称为光栅方程，它给出了光栅衍射主极大的角位置 $\theta_{m}$。

衍射极小所满足的条件为 $\sin N \alpha=0$，此时有

$$d \sin \theta_{m}=\pm \frac{m}{N} \lambda \quad m=1,2,\cdots \quad m \neq N,2 N,\cdots$$

• 在 $k$ 和 $(k+1)$ 两个主极大之间存在着 $m=k N+1,k N+2,\cdots,[(k+1) N-1]$ 共 $N-1$ 个暗纹，在这 $N-1$ 个暗纹间一定还存在着 $N-2$ 个次极大。
• 不考虑缝宽时，在观察屏上存在着一系列窄而亮的亮条纹（主极大），在相邻主极大间还有一些光强很弱的亮条纹（次极大）；
• 主极大的位置与狭缝数 $N$ 无关。随着 $N$ 增加，主极大宽度变窄，强度增加；
• 由于 $N$ 很大，次极大强度很弱，可见度趋于零，因此在实验上所观察到的是相邻主极大间存在较宽的暗背景。
• 光栅衍射主极大光强的包络线形状由单缝衍射的光强分布决定
• 由于单缝衍射除中央极大外的其他较高级次极大的光强随衍射角增大而迅速减小，因此在实验中所能看到的光栅衍射主极大主要位于单缝衍射中央极大范围之内。
• 在一定条件下，由于多缝干涉主极大的角位置与单缝衍射极小的角位置重合，应该出现主极大的位置上出现了极小，把这种现象称为缺级现象。出现缺级的条件为 $$\begin{array}{c} (a+b) \sin \theta=\pm m \lambda \quad m=0,1,2, \cdots \\ a \sin \theta=\pm m^{\prime} \lambda \quad m^{\prime}=1,2, \cdots \\ \end{array}$$ $$\frac{a}{a+b}=\frac{k}{m}$$ 则第 $k$ 次出现缺级是在第 $m$ 条主极大处

斜入射光栅

光栅方程变为

$$d(\sin \theta-\sin i)=\pm m \lambda$$

光栅分辨本领

光栅分辨波长差为 $\Delta \lambda$ 的两条谱线的能力称为光栅的分辨本领，其定义为

$$R=\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=m N-1 \approx m N$$

光栅的分辨本领取决于光谱的级次 $m$ 和光栅的缝数 $N$ 的乘积。

• 一般光栅的缝数达几千甚至上万条，因此其分辨不同波长的能力很强。
• 在缝数一定的情况下，级次越高，分辨本领也越强。但由于受单缝衍射调制的影响，级次高的衍射主极大强度急剧下降，一般而言，不宜靠利用高级次的条纹来提高分辨率。

X 光衍射

布拉格把晶体的空间点阵简化，当作反射光栅处理。想象晶体是由一系列的平行的原子层（称为晶面）所构成的。各原子层（或晶面）之间的距离为 $d$，称为晶面间距。当一束单色平行的 $\mathrm{X}$ 射线以掠射角 $\theta$ 入射到晶面上时，一部分将为表面层原子所散射，其余部分将为内部各原子层所散射。但是，在各原子层所散射的射线中，只有沿镜反射方向的射线强度最大。各层散射射线相互加强而形成亮点的条件是

$$2 d \sin \theta=m \lambda \quad m=1,2,3,\cdots$$

上式称为布拉格公式（或布拉格条件）。