近世代数笔记

本文最后更新于:2024年6月16日 晚上

置顶:定义辨析

  • 映射
  • 单射
  • 满射
  • 关系
  • 等价关系
  • 等价类
  • 商集
  • 模 m 剩余类
  • 分类
  • 代数运算
  • 单位元
  • 逆元
  • 交换群/阿贝尔群
  • 群的阶
  • 有限群
  • 无限群
  • 零元
  • 负元
  • 加群
  • 乘群
  • 乘法表/群表/凯莱表
  • 方幂
  • n 次单位根群
  • 子群
  • 平凡子群
  • 真子群
  • 群的中心
  • 中心化子
  • 生成子群
  • 生成元组
  • 同构映射
  • 同构
  • 自同构
  • 变换群
  • 对称群
  • 元素的阶
  • 循环群
  • 生成元
  • 模 p 原根
  • n 次对称群
  • 置换群
  • 置换
  • 轮换
  • 对换
  • 偶置换
  • 奇置换
  • n 次交代群
  • 陪集
  • 正规子群/不变子群
  • 单群
  • 商群
  • 同态映射
  • 同态
  • 零同态
  • 满同态
  • 单同态
  • 自然同态
  • 原象
  • 群同态的核
  • 外直积
  • 内直积
  • 交换群
  • 交换环
  • 乘法单位元
  • 可逆元/单位
  • 单位群
  • 零环
  • 整数环
  • 模 m 剩余类环
  • 有理数域
  • 实数域
  • 复数域
  • 直和
  • 子环
  • 平凡子环
  • 环的中心
  • 左零因子
  • 右零因子
  • 无零因子环
  • 整环
  • 高斯整环
  • 除环
  • 理想
  • 真理想
  • 平凡理想
  • 主理想
  • 商环
  • 环同态的核
  • 素理想
  • 极大理想
  • 特征
  • 素域

置顶:解题范式

证明相等

两个集合 $A,B$ 相等:

  1. 证明 $A \subset B$
  2. 证明 $B \subset A$

两个数 $a,b$ 相等:

  1. 证明 $a \mid b$
  2. 证明 $b \mid a$

等价关系

若要证明 $\sim$ 是一个等价关系:

  1. 证明反身性
  2. 证明对称性
  3. 证明传递性

代数运算

若要证明集合 $A$ 中的运算 $\cdot$ 是一个代数运算:

  1. 证明封闭性
  2. 证明唯一性(通常显然)

代数运算

若要证明集合 $A$ 关于运算 $\cdot$ 构成一个群:

  1. 证明 $\cdot$ 是代数运算
  2. 证明结合律(左右结合律)
  3. 证明单位元 $e$ 存在(左右单位元)
  4. 证明逆元存在(左右逆元)

有限集

设 $G=\left\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right\}$,则对任意的 $a \in G$,

如果有 $x,y \in G$,使 $x a=y a$,则由右消去律或者无零因子得 $x=y$,由此推出,当 $i \neq j$ 时,有 $a_{i} a \neq a_{j} a$,从而 $|G a|=|G|$,所以 $G a=G$

子群的判定

三条定理!

群同构

若要证明两个群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构:

  1. 构造群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素间的对应关系 $\phi$,并证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
    • 即证明 $\forall x,y \in G$,若 $x=y$,则 $\phi(x)=\phi(y)$
  2. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的单射
    • 即对任意的 $x,y \in G$,证明由 $\phi(x)=\phi(y)$ 可推出 $x=y$
  3. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满射
    • 即对任意的 $x^{\prime} \in G^{\prime}$,证明存在(构造) $x \in G$,使 $\phi(x)=x^{\prime}$
  4. 证明 $\phi$ 保持运算
    • 即对任意的 $x,y \in G$,证明 $\phi(x y)=\phi(x) \phi(y)$

群同态

若要证明 $G / K \cong G^{\prime}$:

  1. 建立群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素之间的对应关系 $\phi$,并证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
  2. 证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满射
  3. 证明 $\phi$ 保持运算
  4. 综上 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射
  5. 计算同态的 $\operatorname{Ker} \phi$,使得 $K=\operatorname{Ker} \phi$
  6. 应用群同态基本定理得 $G / \operatorname{Ker} \phi \cong G^{\prime}$

若要证明 $R$ 是一个环:

  1. 证明加法和乘法封闭:$\forall x,y \in R$:$x+y\in R$,$xy \in R$
  2. 证明加法满足结合律交换律:$\forall x,y,z \in R$:$x+y=y+x$,$x+(y+z)=(x+y)+z$
  3. 找到加法零元:$\exists 0 \in R,\forall x \in R$:$x+0=x$
  4. 找到加法负元:$\forall x \in R,\exists -x \in R$:$x+(-x)=0$
  5. 证明乘法满足结合律:$\forall x,y,z \in R$:$(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y \cdot z)$
  6. 证明乘法对加法满足两个分配律:$\forall x,y,z \in R$
  7. 综上可得 $R$ 是一个环
  8. 还可以增加条件,说明 $R$ 是交换环/$R$ 有单位元
  9. 若有乘法逆元,则 $R$ 是一个域

子环

若要证明 $S$ 是 $R$ 的子环

  1. 说明 $S$ 是 $R$ 的非空子集(通常显然)
  2. 证明 $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的加法子群,可以使用 $\forall a,b \in S$,有 $a-b \in S$(减法封闭
  3. $S$ 关于 $R$ 的乘法封闭,即对任意的 $a,b \in S$,有 $a b \in S$

理想

若要证明 $I$ 是 $R$ 的理想:

  1. 说明 $I$ 是 $R$ 的非空子集(通常显然)
  2. 证明 $\forall r_{1},r_{2} \in I$,$r_{1}-r_{2} \in I$(减法封闭
  3. 证明 $\forall r \in I$,$s \in R$,$r s,s r \in I$(乘法吸收

环同态

若要证明 $\phi : R \rightarrow R^{\prime}$ 是一个同态映射:

  1. 证明 $\phi$ 为 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的映射
  2. 证明 $\phi$ 保持运算
  3. 综上 $\phi$ 是 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的同态映射
  4. 若能证明 $\phi$ 是满射,则环 $R$ 与 $R^{\prime}$ 同态

极大理想

若要证明 $I$ 是 $R$ 的极大理想:

  1. 说明 $I$ 是 $R$ 的真理想
  2. 设 $J$ 是 $R$ 的任意理想,且 $I \subsetneq J \subseteq R$(左右夹击)
  3. 任取 $x \in J$ 且 $x \notin I$
  4. 根据 $x \notin I$,获取约束条件
  5. 构造 $1 = \cdots \in J$(这一步可能比较困难)
  6. 因此 $J=R$
  7. 故 $I$ 是 $R$ 的极大理想

特征

若要证明 $R$ 的特征为 $n$,$n \ne 0$:
方法一:

  1. 给出正整数 $n$,使得 $\forall a \in R, na=0$(存在 $n$)
  2. 证明 $\forall k, 1\le k <n, \exists b \in R, kb\ne 0$(没有比 $n$ 更小的)

方法二:(若 $R$ 有单位元)

  1. 找出 $R$ 的单位元 $e$
  2. 计算 $e$ 关于加法的阶 $n$
  3. 特征 $\operatorname{Char} R = n$

若要证明 $R$ 的特征为 $n=0$:

  1. $\exists a \in R, na=0 \Rightarrow n=0$

第一章 群

二元关系

设 $S$ 是一个非空集合,$\mathcal{R}$ 是关于 $S$ 的元素的一个条件。如果对 $S$ 中任意一个有序元素对 $(a,b)$,我们总能确定 $a$ 与 $b$ 是否满足条件 $\mathcal{R}$,就称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个关系。如果 $a$ 与 $b$ 满足条件 $\mathcal{R}$,则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $\mathcal{R}$,记作 $a\mathcal{R}b$;否则称 $a$ 与 $b$ 无关系 $\mathcal{R}$。关系 $\mathcal{R}$ 也称为二元关系

  • 注意 $\mathcal{R}$ 的确定性,“总能”表示忽略验证所需的时间和复杂度

等价关系

设 $\mathcal{R}$ 是非空集合 $S$ 的一个关系,如果 $\mathcal{R}$ 满足

  • 反身性,即对任意的 $a \in S$,有 $a \mathcal{R} a$
  • 对称性,即若 $a \mathcal{R} b$,则 $b \mathcal{R} a$
  • 传递性,即若 $a \mathcal{R} b$,且 $b \mathcal{R} c$,则 $a \mathcal{R} c$

则称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个等价关系,并且如果 $a \mathcal{R} b$,则称 $a$ 等价于 $b$,记作 $a \sim b= \{[a], a\in S\}$

  • 注意可能存在孤立元素,即存在 $a$,对于任意 $b$,$a \not\sim b$。
  • 不能根据传递性和对称性推出自反性。(反例:$a$ 可以是孤立元素且没有自反性)

等价类

如果是集合 $S$ 的一个等价关系,对 $a \in S$,令

称子集 $[a]$ 为 $S$ 的一个等价类。$S$ 的全体等价类的集合称为集合 $S$ 在等价关系下的商集,记 $S / \sim$

同余关系与剩余类

设 $m$ 是正整数,在整数集 $\mathbf{Z}$ 中,规定

  • 对任意整数 $a$,有 $m \mid a-a$
  • 若 $m \mid a-b$,则 $m \mid b-a$
  • 若 $m \mid a-b$,$m \mid b-c$,则 $m \mid a-c$
    所以 $\mathcal{R}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个等价关系。显然 $a$ 与 $b$ 等价当且仅当 $a$ 与 $b$ 被 $m$ 除有相同的余数,因此称这个关系为同余关系,并记作 $a \equiv b(\bmod m)$

设 $a \in \mathbb{Z}$,则

$[a]$ 称为整数集 $\mathbb{Z}$ 的一个(与 $a$ 同余的)模 m 剩余类,在数论中,$[a]$ 常记作 $\bar{a}$,而相应的商集称为 $\mathbb{Z}$ 的模 m 剩余类集,记作 $\mathbb{Z}_{m}$

易得

是模 $m$ 的全体不同的剩余类,所以

分类

如果非空集合 $S$ 是它的某些两两不相交的非空子集的并,则称这些子集为集合 $S$ 的一种分类,其中每个子集称为 $S$ 一个。如果 $S$ 的子集族 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 构成 $S$ 的一种分类,则记作 $\mathcal{P}=\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 由此定义可知,集合 $S$ 的子集族 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 构成 $S$ 的一种分类当且仅当

  • $S=\bigcup_{i \in I} S_{i}$
  • $S_{i} \cap S_{j}=\varnothing$,$i \neq j$

  • 第一个条件说明 $\left\{S_{i}\right\}$ 这些子集无遗漏地包含了 $S$ 的全部元素

  • 第二个条件说明两个不同的子集无公共元素,从而 $S$ 的元素属于且仅属于一个子集
  • 这表明,$S$ 的一个分类必须满足不漏不重的原则

分类与等价关系的关系

  • 集合 $S$ 的任何一个等价关系都确定了 $S$ 的一种分类,且其中每一个类都是集合 $S$ 的一个等价类。
  • 反之,集合 $S$ 的任何一种分类也都给出了集合 $S$ 的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那些类。
  • 也就是说,一个集合的分类可以通过等价关系来描述;另一方面,等价关系也可以用集合的分类来表示

等价关系数目

如果用 $B(n)$ 表示一个具有 $n$ 个元素的集合上的不同等价关系的个数,则有下列的递推公式:

其中 $\mathrm{C}_{n}^{k}$ 为二项式系数,并规定 $B(0)=1,B(1)=1$

代数运算

设 $A$ 是一个非空集合,若对 $A$ 中任意两个元素 $a,b$,通过某个法则“$\cdot$”,有 $A$ 中唯一确定的元素 $c$ 与之对应,则称法则“$\cdot$”为集合 $A$ 上的一个代数运算。元素 $c$ 是 $a,b$ 通过运算“$\cdot$” 作用的结果,将此结果记为 $a \cdot b=c$

换句话说代数运算满足封闭性和唯一性:

  • $\forall a,b \in A$,$a\cdot b\in A$
  • 若 $a_1\cdot b_1=c_1$,$a_2\cdot b_2=c_2$,$a_1=a_2$,$b_1=b_2$,则必有 $c_1=c_2$

设 $G$ 是一个非空集合,“$\cdot$”是 $G$ 上的一个代数运算,即 (G0) 对所有的 $a,b \in G$,有 $a \cdot b \in G$。如果 $G$ 的运算还满足

  • (G1) 结合律,即对所有的 $a,b,c \in G$,有 $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$
  • (G2) $G$ 中有元素 $e$,使对每个 $a \in G$,有 $e \cdot a=a \cdot e=a$
  • (G3) 对 $G$ 中每个元素 $a$,存在元素 $b \in G$,使 $a \cdot b=b \cdot a=e$

则称 $G$ 关于运算“$\cdot$”构成一个,记作 $(G,\cdot)$。在不致引起混淆的情况下,也称 $G$ 为群。

  • (G2) 中的元素 $e$ 称为群 $G$ 的单位元或恒等元;
  • (G3) 中的元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元
  • 群 $G$ 的单位元 $e$ 和每个元素的逆元都是唯一的
  • $G$ 中元素 $a$ 的唯一的逆元通常记作 $a^{-1}$
  • 如果群 $G$ 的运算还满足交换律,即对任意的 $a$,$b \in G$,有 $a \cdot b=b \cdot a$,则称 $G$ 是一个交换群阿贝尔群
  • 群 $G$ 中元素的个数称为群 $G$ 的,记为 $|G|$。如果 $|G|$ 是有限数,则称 $G$ 为有限群,否则称 $G$ 为无限群

  • 当群 $G$ 的运算用加号“+”表示时,通常将 $G$ 的单位元记作 $0$,并称 $0$ 为 $G$ 的零元;将 $a \in G$ 的逆元记作 $-a$,并称 $-a$ 为 $a$ 的负元

  • 习惯上,只有当群为交换群时,才用“+”来表示群的运算,并称这个运算为加法,把运算的结果叫做和,同时称这样的群为加群
  • 相应地,将不是加群的群称为乘群,并把乘群的运算叫做乘法,运算的结果叫做积。在运算过程中,乘群的运算符号通常省略不写
  • 今后,如不作特别声明,总假定群的运算是乘法

乘法表

形如下表的表通常称为群的乘法表,也称群表或凯莱表。人们常用群表来表示有限群的运算

在一个群表中,

  • 表的左上角列出了群的运算符号(有时省略)
  • 表的最上面一行则依次列出群的所有元素(通常单位元列在最前面)
  • 表的最左列按同样的次序列出群的所有元素
  • 表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘积
    • 注意,在乘积 $a \circ b$ 中,左边的因子 $a$ 是左列上的元素,右边的因子 $b$ 是最上面一行的元素
  • 由群表很容易确定一个元素的逆元素
  • 如果一个群的群表是对称的,则可以肯定,这个群一定是交换群

群的性质

设 $G$ 为群,则有

  • 群 $G$ 的单位元是唯一的
  • 群 $G$ 的每个元素的逆元是唯一的
  • 对任意的 $a \in G$,有 $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$
  • 对任意的 $a,b \in G$,有 $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$
  • 在群中消去律成立,即设 $a,b,c \in G$,如果 $a b=a c$,或 $b a=c a$,则 $b=c$

设 $G$ 是群,那么对任意的 $a,b \in G$,方程

在 $G$ 中都有唯一解

方幂

群的定义中的结合律表明,群中三个元素 $a,b,c$ 的乘积与运算的顺序无关,因此可以简单地写成:$a b c$。进一步可知,在群 $G$ 中,任意 $k$ 个元素 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 的乘积与运算的顺序无关,因此可以写成 $a_{1} a_{2} \cdots a_{k}$。据此,可以定义群的元素的方幂

乘群

对任意的正整数 $n$,定义

再约定

则 $a^{n}$ 对任意整数 $n$ 都有意义,并且不难证明,对任意的 $a \in G$,$m,n \in \mathbf{Z}$,有下列的指数法则:

  • $a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}$
  • $\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n m}$
  • 如果 $G$ 是交换群,则 $(a b)^{n}=a^{n} b^{n}$

加群

当 $G$ 是加群时,元素的方幂则应改写为倍数

相应地,指数法则变为倍数法则,

  • $n a+m a=(n+m) a$
  • $m(n a)=(m n) a$
  • $n(a+b)=n a+n b$

因为加群是交换群,所以第三条总是成立的

群的判定

设 $G$ 是一个具有代数运算的非空集合,则 $G$ 关于所给的运算构成群的充分必要条件

  • $G$ 的运算满足结合律
  • $G$ 中有一个元素 $e$(称为 $G$ 的左单位元),使对任意的 $a \in G$,有 $e a=a$
  • 对 $G$ 的每一个元素 $a$,存在 $a^{\prime} \in G$(称为 $a$ 的左逆元),使 $a^{\prime} a=e$。这里 $e$ 是 $G$ 的左单位元

换句话说明,一个具有乘法运算的非空集合 $G$,只要满足结合律,有左单位元,每个元素有左逆元,就构成一个群。

同理可证,一个具有乘法运算的非空集合 $G$,如果满足结合律,有右单位元,且 $G$ 中每个元素有右逆元,则 $G$ 也构成群

设 $G$ 是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合,则 $G$ 构成群的充分必要条件是对任意的 $a,b \in G$,方程

在 $G$ 中都有解

设 $G$ 是一个具有乘法运算的非空有限集合,如果 $G$ 满足结合律,且两个消去律成立,则 $G$ 构成群

  • 要注意的是,如果没有有限的条件,一个具有代数运算的集合,仅仅满足结合律和两个消去律,并不一定构成群

常用例子

  • $\mathbf{Z}_{m}=\{\bar{a} \mid a=0,1,2,\cdots,m-1\}$ 是整数集 $\mathbf{Z}$ 的一种分类
  • 整数集 $\mathbf{Z}$ 关于数的加法构成群,这个群称为整数加群
  • 全体非零有理数的集合 $\mathbf{Q}^{*}$,关于数的乘法构成交换群
  • 全体非零实数的集合 $\mathbf{R}^{*}$
  • 全体非零复数的集合 $\mathbf{C}^{*}$ 关于数的乘法也构成交换群
  • 全体 $n$ 次单位根组成的集合关于数的乘法构成一个 $n$ 阶交换群,通常称这个群为 n 次单位根群
  • 设 $m$ 是大于 $1$ 的正整数,则 $\mathbf{Z}_{m}$ 关于剩余类的加法构成加群,这个群称为 $\mathbf{Z}$ 的模 $m$ 剩余类加群
  • 设 $m$ 是大于 $1$ 的正整数,记则 $U(m)$ 关于剩余类的乘法构成群,群 $(U(m),\cdot)$ 称为 $\mathbf{Z}$ 的模 $m$ 单位群,显然这是一个交换群,不一定是循环群。当 $p$ 为素数时,$U(p)$ 常记作 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$,易知这是一个循环群,$U(m)$ 的阶等于欧拉函数 $\phi(m)$

子群

定义

设 $G$ 是一个群,$H$ 是 $G$ 的一个非空子集。如果 $H$ 关于 $G$ 的运算也构成群,则称 $H$ 为 $G$ 的一个子群,记作 $H<G$

  • 对任意群 $G$,$G$ 本身以及只含单位元 $e$ 的子集 $H=\{e\}$ 是 $G$ 的子群,这两个子群称为 $G$ 的平凡子群。群 $G$ 的其他子群称为 $G$ 的非平凡子群
  • 群 $G$ 的不等于它自身的子群称为 $G$ 的真子群

设 $m$ 是一个整数,令

则 $H$ 为整数加群 $\mathbf{Z}$ 的子群。这个群称为由 $m$ 所生成的子群,常记作 $m \mathbf{Z}$ 或 $\langle m\rangle$

判定

由于群 $G$ 的运算满足结合律,所以结合律在 $G$ 的任何关于 $G$ 的运算封闭的非空子集 $H$ 上都成立。于是,由群的定义知,如果群 $G$ 的非空子集 $H$ 满足下列条件,则 $H$ 是群 $G$ 的子群:

  • $H$ 在群的运算下封闭
  • $H$ 有单位元
  • $H$ 包含它的每个元素的逆元

设 $G$ 为群,$H$ 是群 $G$ 的非空子集,则 $H$ 成为群 $G$ 的子群的充分必要条件

  • 对任意 $a,b \in H$,有 $a b \in H$
  • 对任意 $a \in H$,有 $a^{-1} \in H$

设 $G$ 为群,$H$ 是群 $G$ 的非空子集,则 $H$ 成为 $G$ 的子群的充分必要条件

  • 对任意的 $a,b \in H$,有 $a b^{-1} \in H$

性质

设 $G$ 为群,$H$ 是 $G$ 的子群,则

  • 群 $G$ 的单位元 $e$ 是 $H$ 的单位元;
  • 对任意的 $a \in H$,$a$ 在 $G$ 中的逆元 $a^{-1}$ 就是 $a$ 在 $H$ 中的逆元

设 $G$ 为群,记

则 $C(G)$ 是 $G$ 的子群。称 $C(G)$ 为 $G$ 的中心

设 $a$ 是群 $G$ 的元素,定义 $a$ 在 $G$ 中的中心化子

则 $C(a)$ 是 $G$ 的子群,且满足

  • 群 $G$ 的任意两个子群的一定是 $G$ 的子群
  • 群 $G$ 的任意两个子群的不一定是 $G$ 的子群

生成子群

定义

设 $S$ 是群 $G$ 的一个非空子集,令 $M$ 表示 $G$ 中所有包含 $S$ 的子群所组成的集合,即

$G$ 本身显然包含 $S$,所以 $G \in M$,从而 $M$ 非空。令

则 $K$ 是 $G$ 的子群,称 $K$ 为群 $G$ 的由子集 $S$ 所生成的子群,简称生成子群,记作 $\langle S\rangle$,即

子集 $S$ 称为 $\langle S\rangle$ 的生成元组

如果 $S=\left\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}\right\}$ 为有限集,则记

性质

设 $S$ 是群 $G$ 的非空子集,则

  • $\langle S\rangle$ 是 $G$ 的包含 $S$ 的最小子群
  • $\langle S\rangle=\left\{a_{1}^{l_{1}} a_{2}^{l_{2}} \cdots a_{k}^{l_{k}} \mid a_{i} \in S, l_{i}= \pm 1, k \in \mathbf{N}\right\}$

特别注意:上式中的 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 可以取重复的值。若我们用不重复的 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 来表示,那么这个乘法式子可能是无限长(因为不一定有交换律),不太好表示了。

特例

  • 当 $S$ 只包含群 $G$ 的一个元素 $a$ 时,由于所以这种由一个元素 $a$ 生成的子群称为由 $a$ 生成的循环群
  • 当 $S$ 只包含群 $G$ 的两个元素 $a,b$,且 $a b=b a$,则

群的同构

定义

设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群,$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一一对应,使

则称 $\phi$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个同构映射,简称同构,并称群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构,记作

  • 群 $G$ 到它自身的同构映射称为群 $G$ 的自同构,恒等同构是自同构
  • 同构映射一定是可逆变换
  • 同构的群之间可以有不止一个同构映射
  • 在群同构的定义中,虽然使用了同一个符号“ $\cdot$ ”表示群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的运算,但事实上,$a \cdot b$ 与 $\phi(a) \cdot \phi(b)$ 分别是在群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 中进行的运算,一般来说它们是不相同的

证明两个群同构的步骤

  1. 构造群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素间的对应关系 $\phi$,并证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
  2. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的单映射。即对任意的 $x,y \in G$,证明由 $\phi(x)=\phi(y)$ 可推出 $x=y$
  3. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满映射。即对任意的 $x^{\prime} \in G^{\prime}$,证明存在 $x \in G$,使 $\phi(x)=x^{\prime}$
  4. 证明 $\phi$ 保持运算。即对任意的 $x,y \in G$,证明 $\phi(x y)=\phi(x) \phi(y)$

性质

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同构映射,$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单位元,$a$ 是 $G$ 的任一元素,则

  • $\phi(e)=e^{\prime}$
  • $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$
  • $\phi$ 是可逆映射,且 $\phi$ 的逆映射 $\phi^{-1}$ 是群 $G^{\prime}$ 到群 $G$ 的同构映射

设群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构

  • 如果 $G$ 是交换群(Abel 群),则 $G^{\prime}$ 也是交换群
  • 如果 $G$ 是有限群,则 $G^{\prime}$ 也是有限群,且 $|G|=\left|G^{\prime}\right|$

群的同构是一个等价关系,即

  • 反身性:$G \cong G$
  • 对称性:若 $G \cong G^{\prime}$,则 $G^{\prime} \cong G$
  • 传递性:若 $G \cong G^{\prime}$,$G^{\prime} \cong G^{\prime \prime}$,则 $G \cong G^{\prime \prime}$

  • 其中 $G,G^{\prime},G^{\prime \prime}$ 都是群

  • 注意:同构关系是等价关系,映射不是等价关系!

自同构群

群 $G$ 的所有自同构关于变换的乘法构成一个群,记作 $\mathrm{Aut}(G)$,这个群称为 $G$ 的自同构群

变换群

背景

群同构的定义表明:在同构映射之下,对应的元素在各自的运算之下有相同的关系。从而,同构的群具有完全相同的群性质。因此,当研究一个群时,可以撇开群的元素的个性以及运算的具体含义不管,而且由一个群所得到的一切性质,对任意一个与之同构的群都适用。反之,为了研究一个抽象的群,可以转而去研究一个具体的与之同构的群。如果这个具体的群的性质搞清楚了,那么就可以借助于群同构,把这个群的性质转化为原来那个抽象的群的性质了。在所有的群中,最早研究的一类群是和集合的可逆变换联系在一起的。这类群通常称为变换群。而一般群的概念正是从变换群的概念抽象出来的。容易证明,集合上的所有可逆变换对于变换的复合运算构成群。

定义

非空集合 $X$ 的全体可逆变换关于变换的合成所构成的群 $S_x$ 称为集合 $X$ 的对称群,$S_x$ 的任一子群称为 $X$ 的一个变换群

凯莱定理

每一个群都同构于一个变换群。

(Todo:凯莱定理的证明)

定义

设 $G$ 是一个群,$e$ 是 $G$ 的单位元,$a \in G$。如果存在正整数 $r$,使 $a^{r}=e$,则称 $a$ 是有限阶的,否则称 $a$ 是无限阶的。使 $a^{r}=e$ 的最小正整数 $r$ 称为元素 $a$ 的,记作 $\operatorname{ord} a=r$。如果 $a$ 是无限阶的,则记作 $\operatorname{ord} a=\infty$

  • 在任何一个群中,单位元的阶总是 $1$
  • 在整数加群 $\mathbf{Z}$ 中,除零元 $0$ 外,每个元素都是无限阶的

性质

设 $G$ 为群,$e$ 为 $G$ 的单位元

  • 对任意的 $a \in G$,有 $\operatorname{ord} a=\operatorname{ord} a^{-1}$
  • 设 $\operatorname{ord} a=n$,如果有 $m \in \mathbf{Z}$,使 $a^{m}=e$,则 $n \mid m$
  • 设 $\operatorname{ord} a=n$,则对任意的 $m \in \mathbf{Z}$,$\operatorname{ord} a^{m}=\frac{n}{(n,m)}$
  • 设 $\operatorname{ord} a=n$,$\operatorname{ord} b=m$,如果 $a b=b a$,且 $\operatorname{gcd}(n,m)=1$,则 $\operatorname{ord}(a b)=m n$

设 $G$ 是一个有限群,$|G|=n$,则对任意的 $a \in G$,$a$ 是有限阶的,且 $\operatorname{ord} a\mid \left| G \right|$,即有限群的任何一个元素的阶都是群阶数的因子。

循环群

定义

设 $G$ 是群,如果存在 $a \in G$,使得 $G=\langle a\rangle$(a 的生成子群),则称 $G$ 为一个循环群,并称 $a$ 为 $G$ 的一个生成元。当 $G$ 的元素个数无限时,称 $G$ 为无限循环群;当 $G$ 的元素个数为 $n$ 时,称 $G$ 为 n 阶循环群

  • 整数加群 $\mathbf{Z}$ 是无限循环群
  • 设 $m$ 为正整数,则模 $m$ 剩余类加群 $\mathbf{Z}_{m}$ 是 $m$ 阶循环群
  • $n$ 次单位根群 $U_{n}$ 是一个 $n$ 阶循环群

性质

设 $p$ 为素数,则 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$ 是 $p-1$ 阶循环群。对于循环群 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$,如果 $\bar{a}$ 是 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$ 的生成元,则称数 $a$ 是 $\mathbf{Z}$ 的一个模 p 原根

设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群,则

  • 如果 $|G|=\infty$,则 $a$ 与 $a^{-1}$ 是 $G$ 的两个仅有的生成元
  • 如果 $|G|=n$,则 $G$ 恰有 $\phi(n)$ 个生成元,且 $a^{r}$ 是 $G$ 的生成元的充分必要条件是 $(n,r)=1$,其中,$\phi(n)$ 是欧拉函数

原根判定定理:
设 $m \geqslant 3$,$(g,m)=1$,则 $g$ 是模 $m$ 的原根的充要条件是,对于 $\varphi(m)$ 的每个素因数 $p$,都有 $g^{\frac{\varphi(m)}{p}} \not \equiv 1(\bmod m)$

循环群的任一子群也是循环群

  • 设 $\operatorname{ord} a=n$,$r$ 是任一整数。如果 $(n,r)=d$,则
  • 设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群,
    • 如果 $|G|=\infty$,则 $G$ 的全部子群为
    • 如果 $|G|=n$,则 $G$ 的全部子群为

循环群的结构定理

设 $G$ 为循环群

  • 如果 $G=\langle a\rangle$ 是无限循环群,则 $G \cong(\mathbf{Z},+)$
  • 如果 $G=\langle a\rangle$ 是 $n$ 阶循环群,则 $G \cong\left(\mathbf{Z}_{n},+\right)$

置换群与对称群

前面提到非空集合的全体可逆变换关于映射的合成构成集合 $X$ 的对称群 $S_X$,并且把 $S_X$ 的任一子群叫做 $X$ 的一个变换群。如果 $X$ 是由 $n$ 个元素组成的有限集合,则通常把的一个可逆变换叫做一个 $n$ 阶置换,称 $S_X$ 为 n 次对称群,并把 $S_X$ 记作 $S_n$(因为集合 $X$ 有哪些元素与群的特性无关),同时称 $S_n$ 的子群为置换群

  • 定理:每一个有限群都同构于一个置换群

置换

由于集合 $X$ 的元素本身与我们所讨论的问题无关,所以可不妨记

设 $\sigma$ 为 $X$ 的任一置换,如果 $\sigma$ 把 $1$ 映成 $k_{1}$,$2$ 映成 $k_{2}$,……,$n$ 映成 $k_{n}$,则可以把这个置换记作

如果固定第一行元素的次序,则第二行就是 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列,且每一个置换都唯一对应了一个这样的排列。反之,每一个 $n$ 阶排列也可按上式得到唯一的一个 $n$ 阶置换 。由于 $n$ 个数共有 $n!$ 个 $n$ 阶排列,所以 $n$ 个元素的集合共有 $n!$ 个 $n$ 阶置换。换句话说,$n$ 次对称群 $S_{n}$ 的阶是 $n!$

置换的合成

置换的乘法习惯上总是按从右到左的顺序进行的。在本教材中,总是按从右到左的顺序计算置换的乘法。

两个置换 $\sigma,\tau$ 的乘积 $\sigma \cdot \tau$ 是按通常映射合成的法则进行的,即

它是先用 $\tau$ 作用于 $i$,再用 $\sigma$ 作用于 $\tau(i)$

  • 当 $n \geqslant 3$ 时,$S_{n}$ 都不是交换群

置换的性质

设置换

则对任一 $n$ 阶置换 $\sigma$,

轮换

设 $\sigma$ 是一个 $n$ 阶置换,如果存在 $1$ 到 $n$ 中的 $r$ 个不同的数 $i_{1},i_{2},\cdots,i_{r}$,使

并且 $\sigma$ 保持其余的元素不变,则称 $\sigma$ 是一个长度为 $r$ 的轮换,简称 $r$ 轮换,记作

  • 2 轮换称为对换
  • 1 轮换就是恒等置换,并且显然有
  • 轮换的表示一般不是唯一的 $.$ 例如,置换可分别表示为

轮换的性质

设 $\sigma=\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{r}\right)$ 与 $\tau=\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{s}\right)$ 是两个轮换,如果

则称 $\sigma$ 与 $\tau$ 为两个不相交的轮换

  • 任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的
  • 一个置换不一定就是轮换,但是每一个置换可表为一些不相交轮换的乘积
  • 将一个置换分解为不相交轮换的乘积,如果不考虑因子的次序和乘积中 $1$ 轮换的个数,则这个分解式是唯一的

对于轮换的乘积,容易证明下面一些有用的等式:

  • 其中 $a,\cdots,b,c,\cdots,d,k,l,x,y,z$ 为互不相同的正整数
  • 注意置换是从右到左

如果 $\sigma$ 是一个 $r$ 轮换,则 $\operatorname{ord} \sigma=r$
如果 $\sigma$ 是一些不相交轮换的乘积

其中 $\sigma_{i}$ 是 $r_{i}$ 轮换,则 $\operatorname{ord} \sigma=\left[r_{1},r_{2},\cdots,r_{s}\right]$

  • 每个置换都可表为对换的乘积
  • 将一个置换表为对换的乘积,表法一般不唯一
  • 将一个置换表为对换的乘积,所用对换个数的奇偶性是唯一的

可表成偶数个对换的乘积的置换叫偶置换,可表成奇数个对换的乘积的置换叫奇置换

  • 任何两个偶(奇)置换之积是偶置换
  • 一个偶置换与一个奇置换之积是奇置换
  • 一个偶(奇)置换的逆置换仍是一个偶(奇)置换

  • 当 $n>1$ 时,在全体 $n$ 阶置换中,奇置换与偶置换各有 $\frac{n!}{2}$ 个

  • 在 $S_{n}$ 中,全体偶置换构成 $S_{n}$ 的子群
  • 由 $S_{n}$ 的全体偶置换所构成的子群称为 n 次交代群,记作 $A_{n}$

子集的运算

乘积

设 $A$ 与 $B$ 是群 $G$ 的两个非空子集,称集合

为群的子集 $A$ 与 $B$ 的乘积
如果 $g$ 为群 $G$ 的一个元素,$A={g}$,则 $A B$ 与 $B A$ 分别简记为

  • 当 $G$ 为加群时,上述记号应相应地改为并称 $A+B$ 为 $A$ 与 $B$ 的

简单性质

  • “和”有交换律
  • 当群 $G$ 不是交换群时,$A B$ 与 $B A$ 一般是不相同的
  • 即使 $A B=B A$,也并不意味着对任意的 $a \in A$,$b \in B$,一定有 $a b=b a$
  • $A B=B A$ 的意思是,对任意的 $a \in A, b \in B$,存在 $a^{\prime} \in A, b^{\prime} \in B$,使 $a b=b^{\prime} a^{\prime}$
  • 由 $A B=A C$,一般不能推出 $B=C$

子集运算的性质定理

设 $A,B,C$ 是群 $G$ 的非空子集,$g$ 是群 $G$ 的一个元素,则

  • $A(B C)=(A B) C$
  • 如果 $g A=g B$ 或 $A g=B g$,则 $A=B$
  • 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群,则 $H \cdot H=H$
  • 如果 $A, B$ 是群 $G$ 的两个子群,则 $A B$ 也是群 $G$ 的子群的充分必要条件是 $A B=B A$

陪集

定义

设 $G$ 是群,$H$ 是 $G$ 的子群。对任意的 $a \in G$,群 $G$ 的子集

分别称为 $H$ 在 $G$ 中的左陪集右陪集

  • $H$ 的一个陪集一般不是 $G$ 的子群
  • $G$ 的两个不同的元素可能生成 $H$ 的同一个左陪集
  • $H$ 的一个左陪集 $aH$ 一般不等于相应的右陪集 $Ha$

性质

设 $H$ 是群 $G$ 的子群,$a,b \in G$,则

  • $a \in a H$
  • $a H=H$ 的充分必要条件是 $a \in H$
  • $a H$ 为子群的充分必要条件是 $a \in H$
  • $a H=b H$ 的充分必要条件是 $a^{-1} b \in H$
  • $a H$ 与 $b H$ 或者完全相同,或者无公共元素
  • $|a H|=|b H|$

由此定理可以知道,群 $G$ 可表示成子群 $H$ 的一些互不相交的左陪集之并。因此,群 $G$ 的子群 $H$ 的全体左陪集的集合组成群 $G$ 的一个分类,即

其中 $g_{i}$ 取遍 $H$ 的不同陪集的代表元素。特别地,如果 $G$ 为有限群,则

其中 $t$ 为 $H$ 的不同左陪集的个数

左陪集与有右陪集

相应的结论对右陪集也成立:

用 $G / H$ 与 $H \backslash G$ 分别表示 $H$ 的全体左陪集和全体右陪集组成的集合,即

则两者间有下述关系

设 $H$ 为 $G$ 的子群,则

是 $G / H$ 到 $H \backslash G$ 的一一对应

指数

设 $G$ 是群,$H$ 是 $G$ 的子群。称子群 $H$ 在群 $G$ 中的左陪集或右陪集的个数(有限或无限)为 $H$ 在 $G$ 中的指数,记作 $[G:H]$

拉格朗日定理:设 $G$ 是一个有限群,$H$ 是 $G$ 的子群,则

拉格朗日定理说明,有限群 $G$ 的子群 $H$ 的阶数与它在 $G$ 中的指数,都是群 $G$ 的阶数的因子
由拉格朗日定理,可以得到下面的推论

  • 设 $G$ 是有限群,则 $G$ 中每一个元素的阶都是 $|G|$ 的因子
  • 设 $G$ 为有限群,$|G|=n$,则对任意的 $a \in G$,有 $a^{n}=e$

  • 应用到模 $p$ 单位群 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$($p$ 是素数),可以得到初等数论中著名的定理:

费马小定理:设 $p$ 为素数,则对任意一个与 $p$ 互素的整数 $a$,有

应用拉格朗日定理,可以推测在一个有限群中,可能有怎样阶数的子群与元素,只是一种可能性,不能仅仅依据这种可能性,就断定这样的子群或元素一定存在

各阶群的结构

  • 一阶群是循环群:$G={e}$
  • 二阶群是循环群:$G={e, a} = \langle a\rangle$
  • 三阶群是循环群:$G={e, a, a^2} = \langle a\rangle$
  • 四阶群是循环群或克莱因四元群:
    • $G={e, a, a^2, a^3} = \langle a\rangle$
    • $G={e,a,b,ab}$,$ab=ba$,$a^2=b^2=e$
  • 五阶群是循环群:$G={e, a, a^2, a^3, a^4} = \langle a\rangle$
  • 六阶群是循环群或三次对称群
    • $G={e, a, a^2, a^3, a^4, a^5} = \langle a\rangle$
    • $G \cong S_3$

正规子群

定义

设 $H$ 是群 $G$ 的子群,如果对每个 $a \in G$,都有 $a H=H a$,则称 $H$ 是群 $G$ 的一个正规子群不变子群,记作 $H \triangleleft G$

  • 条件 $a H=H a$ 仅仅表示两个集合 $a H$ 与 $H a$ 相等,不可推出 $a h=h a$ 对 $H$ 中所有的元素 $h$ 都成立
  • 对任意的 $h \in H$,存在 $h^{\prime} \in H$,使 $a h=h^{\prime} a$
  • 群 $G$ 的单位元群 ${e}$ 和群 $G$ 本身都是 $G$ 的正规子群,这两个正规子群称为 $G$ 的平凡正规子群
  • 如果群 $G$ 只有平凡的正规子群,且 $G \neq{e}$,则称 $G$ 为单群
  • 如果 $G$ 是交换群,则 $G$ 的一切子群都是 $G$ 的正规子群
  • 设 $H, K$ 都是 $G$ 的子群,如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群且 $H \subseteq K$,则 $H$ 也是 $K$ 的正规子群
  • 设 $G$ 为群,$H$ 是 $G$ 的子群,如果 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]=2$,则 $H$ 是 $G$ 的正规子群
  • 若 $H$ 是 $K$ 的正规子群,$K$ 是 $G$ 的正规子群,$K$ 不一定是 $G$ 的正规子群

性质定理

设 $G$ 是群,$H$ 是 $G$ 的子群,则下列四个条件等价:

  • $H$ 是 $G$ 的正规子群
  • 对任意的 $a \in G$,有 $a H a^{-1}=H$
  • 对任意的 $a \in G$,有 $a H a^{-1} \subseteq H$
  • 对任意的 $a \in G$,$h \in H$,有 $a h a^{-1} \in H$

设 $G$ 为群,$H_{1}$,$H_{2}$ 是 $G$ 的正规子群,则

都是 $G$ 的正规子群

  • 事实上,前面提到,两个子群的交一定是子群,而两个子群的合成要是子群的充分必要条件是可交换。而只要其中一个子群是正规子群,那么就是可交换的

陪集的乘法

正规子群的基本特点是:它的每一个左陪集与相应的右陪集完全一致。因此,对于群 $G$ 的正规子群 $H$,可不必区分它的左陪集 $a H$ 与右陪集 $H a$,而直接称 $a H$ 或 $H a$ 为它的一个陪集。用 $G / H$ 表示它的所有陪集组成的集合,即

下面规定 $G / H$ 的运算,以使 $G / H$ 关于给定的运算构成群。

对任意的 $a H, b H \in G / H$,规定:

设 $a^{\prime} H=a H$,$b^{\prime} H=b H$,则

所以上述乘法是 $G / H$ 的一个代数运算。

设 $G$ 是群,$H$ 是 $G$ 的一个正规子群,则 $H$ 的所有陪集组成的集合

关于陪集的乘法 $a H \cdot b H=(a b) H$ 构成群。

商群

设 $G$ 为群,$H$ 是 $G$ 的正规子群。$H$ 的所有陪集 $G / H$ 关于陪集的乘法构成的群称为群 $G$ 关于子群 $H$ 的商群,仍记作 $G / H$。

设 $G$ 为群,$H$ 是 $G$ 的正规子群,则

  • 商群 $G / H$ 的单位元是 $e H(=H)$
  • $a H$ 在 $G / H$ 中的逆元是 $a^{-1} H$

设 $G$ 为群,$H$ 是 $G$ 的任一子群。如果 $G$ 是交换群,则商群 $G / H$ 也是交换群。由于 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]$ 就是 $H$ 在 $G$ 中的陪集的个数,所以 $|G / H|= [G:H]$。特别地,当 $G$ 是有限群时,

有限群 $G$ 的商群的阶是群 $G$ 的阶数的因子。

同态

定义

设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群,$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射。如果对任意的 $a,b \in G$ 有

则称 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个同态映射,简称同态

  • 当同态映射 $\phi$ 是满射时,称 $\phi$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满同态,并称群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同态,记作 $\phi: G \sim G^{\prime}$(或 $G \stackrel{\phi}{\sim} G^{\prime}$)
  • 当同态映射 $\phi$ 是单射时,称 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的单同态
  • 群的同构映射一定是既单且满的同态映射
  • 反之,当群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射 $\phi$ 既是单同态又是满同态时,$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同构映射
  • 在上式中,虽然用同一个记号“$\cdot$”来表示群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的运算,但这不表示等式两边的运算 $a b$ 与 $\phi(a) \phi(b)$ 是一样的

自然同态

设 $G$ 为群,$H$ 是 $G$ 的正规子群,对商群 $G / H$,令

则 $\eta$ 是满映射,且对任意 $a$,$b \in G$,有

所以 $\eta$ 是 $G$ 到它的商群 $G / H$ 的同态映射。通常称这样的同态映射为自然同态

性质

设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射,$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单位元,$a \in G$,则

  • $\phi$ 将 $G$ 的单位元映到 $G^{\prime}$ 的单位元,即 $\phi(e)=e^{\prime}$
  • $\phi$ 将 $a$ 的逆元映到 $\phi(a)$ 的逆元,即 $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$
  • 设 $n$ 是任一整数,则 $\phi\left(a^{n}\right)=(\phi(a))^{n}$
  • 如果 $\operatorname{ord} a$ 有限,则 $\operatorname{ord} \phi(a) \mid \operatorname{ord} a$

象和原象

设 $\phi$ 为群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的映射,$A, B$ 分别为 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的非空子集,记

则 $\phi(A)$ 与 $\phi^{-1}(B)$ 分别是 $G^{\prime}$ 与 $G$ 的非空子集。$\phi(A)$ 与 $\phi^{-1}(B)$ 分别称为子集 $A$ 与 $B$ 在 $\phi$ 下的原象

  • 注意,$\phi^{-1}(B)$ 仅仅是一个集合的记号,并不表示映射 $\phi$ 是可逆的

同态映射与子群

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射,$H$ 与 $K$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的子群,则

  • $\phi(H)$ 是 $G^{\prime}$ 的子群
  • $\phi^{-1}(K)$ 是 $G$ 的子群
  • 如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群,则 $\phi(H)$ 是 $\phi(G)$ 的正规子群
  • 如果 $K$ 是 $G^{\prime}$ 的正规子群,则 $\phi^{-1}(K)$ 是 $G$ 的正规子群

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射,$e^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 的单位元,则称 $e^{\prime}$ 在 $G$ 中的原象

为同态映射 $\phi$ 的,记作 $\operatorname{Ker} \phi$

群同态基本定理

设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的满同态,$K=\operatorname{Ker} \phi$,则

同态与同构

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射,则 $\operatorname{Ker} \phi$ 是 $G$ 的正规子群。我们知道,群同态保持了群双方的运算。因此,群 $G$ 与其同态象 $\phi(G)$ 在结构上有一定的相似之处。同态核可以看成是群 $G$ 与其同态象 $\phi(G)$ 之间的相似程度的一个度量。如果 $\operatorname{Ker} \phi=\{e\}$,则 $G \cong \phi(G)$,从而 $G$ 与 $\phi(G)$ 的结构完全相同。如果 $\operatorname{Ker} \phi=G$,即 $\phi(G)=\left\{e^{\prime}\right\}$,则不能由 $\phi(G)$ 获得群 $G$ 的任何信息。而在其他情况下,$\phi(G)$ 都或多或少地给出了群 $G$ 的部分信息。另一方面,由于同态核 $\operatorname{Ker} \phi$ 是群 $G$ 的正规子群,所以由商群 $G / \operatorname{Ker} \phi$ 又可以反过来了解群 $G$ 的同态象 $\phi(G)$ 的性质

应用群同态基本定理证明群的同构,一般有以下五个步骤:

  1. 建立群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素之间的对应关系 $\phi$,并证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
  2. 证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满映射
  3. 证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射
  4. 计算同态的核 $\operatorname{Ker} \phi$
  5. 应用群同态基本定理得 $G / \operatorname{Ker} \phi \cong G^{\prime}$

第二同构定理

设 $H$ 为 $G$ 的子群,$K$ 为 $G$ 的正规子群,则 $H \cap^{\prime} K$ 是 $H$ 的正规子群且

外直积

定义

设 $G_{1},G_{2}$ 是两个群,构造集合 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的卡氏积

并在 $G$ 中定义乘法运算

则 $G$ 关于上述定义的乘法构成群,称为群 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积,记作 $G=G_{1} \times G_{2}$

  • 如果 $e_{1},e_{2}$ 分别是群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 的单位元,则 $\left(e_{1},e_{2}\right)$ 是 $G_{1} \times G_{2}$ 的单位元
  • 设 $\left(a_{1},a_{2}\right) \in G$,则 $\left(a_{1},a_{2}\right)^{-1}=\left(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}\right)$
  • 当 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 都是加群时,$G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积也可记作 $G_{1} \oplus G_{2}$

性质定理

设 $G=G_{1} \times G_{2}$ 是群 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积,则

  • $G$ 是有限群的充分必要条件是 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 都是有限群。
  • 当 $G$ 是有限群时,有
  • $G$ 是交换群的充分必要条件是 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 都是交换群
  • $G_{1} \times G_{2} \cong G_{2} \times G_{1}$

设 $G_{1}$,$G_{2}$ 是两个群,$a$ 和 $b$ 分别是 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 中的有限阶元素,则对于 $(a,b) \in G_{1} \times G_{2}$,有

设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 分别是 $m$ 阶及 $n$ 阶的循环群,则 $G_{1} \times G_{2}$ 是循环群的充要条件是 $(m,n)=1$

内直积

定义

设 $H$ 和 $K$ 是群 $G$ 的正规子群。如果群 $G$ 满足条件

则称 $G$ 是 $H$ 和 $K$ 的内直积

判定定理

设 $H$ 和 $K$ 是 $G$ 的子群,则 $G$ 是 $H$ 和 $K$ 的内直积的充分必要条件是 $G$ 满足如下两个条件:

  • $G$ 中每个元素可唯一地表为 $h k$ 的形式,其中 $h \in H$,$k \in K$
  • $H$ 中每个元素与 $K$ 中任意元素可交换,即:对任意 $h \in H$,$k \in K$,有 $h k=k h$

性质定理

如果群 $G$ 是正规子群 $H$ 和 $K$ 的内直积,则 $H \times K \cong G$

反之,如果群 $G=G_{1} \times G_{2}$,则存在 $G$ 的正规子群 $G_{1}^{\prime}$ 和 $G_{2}^{\prime}$,且 $G_{i}^{\prime}$ 与 $G_{i}$ 同构 $(i=1,2)$,使得 $G$ 是 $G_{1}^{\prime}$ 与 $G_{2}^{\prime}$ 的内直积

  • 从本定理中可看到,内外直积的概念本质上是一致的,所以有时可不对内外直积加以区分,而统称为群的直积

多个群的直积

设 $G_{1},G_{2},\cdots,G_{n}$ 是有限多个群。构造集合

并在 $G$ 中定义运算

则 $G$ 关于上述运算构成群,称为群 $G_{1},G_{2},\cdots,G_{n}$ 的外直积

设 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 是群 $G$ 的有限多个正规子群。如果 $G$ 满足以下两个条件,就称 $G$ 是 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的内直积:

  • $G=H_{1} H_{2} \cdots H_{n}=\left\{h_{1} h_{2} \cdots h_{n} \mid h_{i} \in H_{i}\right\}$
  • $\left(H_{1} H_{2} \cdots H_{i}\right) \cap H_{i+1}=\{e\},i=1,2,\cdots,n-1$(任意两个交起来都是单位群)

对于多个群的直积,有下述结论
如果群 $G$ 是有限多个子群 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的内直积,则 $G$ 同构于 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的外直积

第二章 环

环的定义

设 $R$ 是一个非空集合,如果在 $R$ 上定义了两数运算“$+$”(称为加法)和“$\cdot$”(称为乘法),并且满足

  • (R1) $R$ 关于加法构成一个交换群
  • (R2) 乘法结合律成立,即对任意的 $a,b,c\in R$,有
  • (R3) 乘法对加法的两个分配律成立,即对任意的 $a,b,c \in R$,有

    则称 $(R,+,\cdot)$ 为一个,或简称 $R$ 为环

  • 由环的定义知 $(R,+)$ 是一个交换群,称为环的加法群。与前两章中关于加群的记号一样,$R$ 的加法单位元常用 0 表示,称为环 $R$ 的零元

  • 环 $R$ 的元素 $a$ 的加法逆元称为 $a$ 的负元,记作 $-a$
  • 由群的性质可知,$R$ 的零元及每个元素的负元都是唯一的
  • 如果环 $R$ 的乘法还满足交换律,则称为交换环
  • 如果环中存在元素 $e$,使对任意的 $a\in R$,有则称 $R$ 是一个有单位元的环,并称 $e$ 为 $R$ 的单位元(注意:环的单位元是乘法单位元)
  • 一个环不一定有单位元
  • 如果环有单位元,则单位元是唯一的
  • 设环 $R$ 是有单位元的环,$a\in R$,如果存在 $b \in R$,使则称 $a$ 是 $R$ 的一个可逆元单位,并称 $b$ 为 $a$ 的逆元,记作 $a^{-1}$
  • 如果 $a$ 可逆则 $a$ 的逆元是唯一的
  • 环的一个元素不一定是可逆的
  • 对于一个有单位元的环 $R$,其所有可逆元组成的集合关于环 $R$ 的乘法构成群。这个群称为环 $R$ 的单位群,记作 $U(R)$
  • 设 $R=0$,规定 $0+0=0\cdot 0=0$,则 $R$ 构成环称为零环
    • 零环是唯一的一个有单位元且单位元等于零元,并且零元也可逆的环
    • 今后,如无特别声明,凡提到有单位元的环时我们总假定这个环不是零环,因此环的单位元也就不等于零元

常见的环

  • 整数集 $\mathbb{Z}$、有理数集 $\mathbb{Q}$、实数集 $\mathbb{R}$、复数集 $\mathbb{C}$ 对于通常数的加法与乘法构成有单位元 $1$ 的交换环,分别称为整数环、有理数域、实数域、复数域、它们的单位群分别是 $\{ 1,-1 \}$、$\mathbb{Q}^*$、$\mathbb{R}^*$ 和 $\mathbb{Q}^*$
  • 数域 $F$ 上全体 $n(n>1)$ 阶方阵 $M_n(F)$ 的集合关于矩阵的加法与乘法构成一个有单位元 $E$(单位矩阵)的非交换环,称为数域 $F$ 上的 $n$ 阶全矩阵环,这个环的单位群是 $GL_n(F)$
  • 设 $m$ 为大于 $1$ 的正整数,则 $\mathbb{Z}$ 的模 $m$ 剩余类集关于剩余类的加法和乘法构成有单位元的交换环,称为模 m 剩余类环,这个环的单位群是 $U(m)$

直和

设 $R_{1},R_{2},\cdots,R_{n}$ 为 $n$ 个环。令

对任意的 $\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right),\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) \in R$,规定

则 $R$ 关于上面所定义的加法与乘法构成一个环。这个环称为环 $R_{1},R_{2},\cdots,R_{n}$ 的直和

  • $R$ 有单位元的充分必要条件是每个 $R_{i}$ 都有单位元
  • $R$ 是交换环的充分必要条件是每个 $R$ 都是交换环

环的性质

设 $R$ 是一个环,$a,b \in R$,则

  • $a \cdot 0=0 \cdot a=0$
  • $-(-a)=a$
  • $a \cdot(-b)=(-a) \cdot b=-a b$
  • $(-a) \cdot(-b)=a b$

利用负元的概念,可以定义环 $R$ 的减法“$-$”:
对任意的 $a,b \in R$,令

移项法则

对任意的 $a,b,c \in R$,有以下移项法则:

分配律

乘法对于减法还满足分配律,即对任意的 $a,b,c \in R$,有

倍数法则

对任意的 $m,n \in \mathbf{Z}$,$a,b \in R$,

  • $m a+n a=(m+n) a$
  • $m(a+b)=m a+m b$
  • $m(n a)=(m n) a=n(m a)$
  • $m(a b)=(m a) b=a(m b)$

指数法则

对任意的 $m,n \in \mathbf{N}$,$a,b \in R$,

  • $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}$
  • $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$

  • 如果 $R$ 的元素 $a$ 是不可逆的,则 $a^{0}$ 与 $a^{-n}(n>0)$ 通常是没有意义的

  • 当 $a b \neq b a$ 时,等式一般也不成立

广义分配律

设 $a \in R$,则对 $b_{i} \in R(i=1,2,\cdots,n)$,有

设 $a_{i},b_{j} \in R(i=1,2,\cdots,n$;$j=1,2,\cdots,m)$,则

子环的定义

设 $(R,+,\cdot)$ 是一个环,$S$ 是 $R$ 的一个非空子集。如果 $S$ 关于 $R$ 的运算构成环,则称 $S$ 为 $R$ 的一个子环,记作 $S<R$

  • 如果 $S$ 是 $R$ 的子环,则 $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的子加群
  • $R$ 的零元 $0$ 就是 $S$ 的零元
  • $S$ 中元素 $a$ 在 $R$ 中的负元 $-a$ 就是 $a$ 在 $S$ 中的负元
  • 环 $R$ 本身以及由单独一个零元 $\{0\}$ 所构成的集合关于 $R$ 的运算显然都构成 $R$ 的子环,这两个子环称为环 $R$ 的平凡子环
  • 即使一个环有单位元,其子环也可能没有单位元
  • 即使一个环没有单位元,其子环也可能有单位元

子环的判定

设 $R$ 是一个环,$S$ 是 $R$ 的一个非空子集,则 $S$ 是 $R$ 的子环的充分必要条件是

  • $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的加法子群
  • $S$ 关于 $R$ 的乘法封闭,即对任意的 $a,b \in S$,有 $a b \in S$

设 $R$ 是一个环,$S$ 是 $R$ 的一个非空子集,则 $S$ 是 $R$ 的子环的充分必要条件是

  • 对任意的 $a,b \in S$,$a-b \in S$
  • 对任意的 $a,b \in S$,$a b \in S$

这就是说,环 $R$ 的子环 $S$ 是 $R$ 的关于减法与乘法封闭的非空子集

中心

设 $R$ 为环,则

为 $R$ 的一个子环,这个子环称为 $R$ 的中心

零因子

设 $R$ 为环,$a$,$b$ 为 $R$ 的两个非零元素,如果

则称 $a$ 为 $R$ 的一个左零因子,$b$ 为 $R$ 的一个右零因子

  • 左零因子与右零因子统称为零因子
  • 在一个有零因子的环中,右零因子不一定是左零因子
  • 左零因子也不一定是右零因子
  • 如果一个环有左零因子,也就一定有右零因子,反之亦然
  • 如果一个环没有左零因子,当然也就没有右零因子,从而也就没有零因子
  • 一个没有零因子的环称为无零因子环
  • 在一个无零因子的环中,两个消去律成立,即对任意的 $a,b,c \in R$,$c \neq 0$,如果 $a c=b c$ 或 $c a=c b$,则 $a=b$
  • 如果环 $R$ 中两个消去律有一个成立,则 $R$ 必是无零因子环,从而另一个消去律也成立

整环

一个无零因子的,有单位元 $e \neq 0$ 的交换环 $R$ 称为整环

全体形如

的复数关于通常数的运算构成一个整环,环 $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]$ 称为高斯整环

类似地可以证明,对任一无平方因子的整数 $d(d \neq 1)$,数集

也是整环

设 $F$ 是一个有单位元 $1_{F} \neq 0$ 的交换环。如果 $F$ 中每个非零元都可逆,则称 $F$ 是一个

  • 由于可逆元一定不是零因子,所以每个域都是整环
  • 整环却不一定是域,如整数环 $\mathbf{Z}$,高斯整环 $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]$ 都不是域
  • $\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{C}$ 都是域,分别称为有理数域、实数域和复数域

在域中定义商

设 $F$ 是一个域,$a,b \in F$ 如 $b \neq 0$,则 $b$ 可逆。因为域的乘法是可交换的,所以总有

因此,如果用记号

来表示这个乘积,是不会造成误解的。进一步规定

并称 $\frac{a}{b}$ 是以 $b$ 除 $a$ 的,由此便可以像普通分数那样进行运算

设 $\frac{a}{b},\frac{c}{d} \in F$,则

  • $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Longleftrightarrow a d=b c$
  • $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{a d \pm b c}{b d}$
  • $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}$
  • $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c} \quad(c \neq 0)$

除环和体

设 $R$ 是一个有单位元 $e \neq 0$ 的环。如果 $R$ 中每个非零元都可逆,则称 $R$ 是一个除环。非交换的除环称为

四元数体

设 $\mathbf{H}$ 是所有形如

的复矩阵所组成的集合,则 $\mathbf{H}$ 关于矩阵的加法和乘法构成一个体

则有下面的运算性质:

且 $\mathbf{H}$ 的任何一个元素

可唯一表为

从而

理想

定义

设 $R$ 为环,$I$ 为 $R$ 的非空子集,如果 $I$ 满足

  • 对任意的 $r_{1}$,$r_{2} \in I$,$r_{1}-r_{2} \in I$
  • 对任意的 $r \in I$,$s \in R$,$r s,s r \in I$

则称 $I$ 为环 $R$ 的一个理想,记作 $I \triangleleft R$。又如果 $I \subsetneq R$,则称 $I$ 为 $R$ 的真理想

  • 如果 $I$ 为 $R$ 的理想,则 $I$ 必为 $R$ 的子环
  • $\{0\}$ 与 $R$ 本身显然都是 $R$ 的理想,这两个理想称为 $R$ 的平凡理想
  • $\mathbb{Z}$ 的所有理想是 $\{d\mathrm{Z} \mid d\in \mathbb{Z}, d\ge 0\}$
  • $\mathbb{Z}_{m}$ 的所有理想是 $\{d\mathrm{Z}_{m} \mid d=0 \text{或} d\mid m\}$

和与交

设 $R$ 为环,$I$,$J$ 都是 $R$ 的理想,集合

分别称为理想 $I$ 与 $J$ 的

  • 设 $R$ 为环,$I$,$J$ 都是 $R$ 的理想,则 $I$ 与 $J$ 的和与交都是 $R$ 的理想
  • 环 $R$ 的任意有限多个理想的和还是 $R$ 的理想
  • 环 $R$ 的任意(有限或无限)多个理想的交还是 $R$ 的理想

主理想

设 $a \in R$,考察 $R$ 中含有元素 $a$ 的全部理想的集合

因为 $a \in R$,且 $R \triangleleft R$,所以 $R \in \Sigma$,从而 $\Sigma$ 非空。令

则 $\langle a\rangle$ 为 $R$ 的一个理想,这个理想称为 $R$ 的由 $a$ 生成的主理想

因为 $a \in I(I \in \Sigma)$,所以 $a \in\langle a\rangle$,从而 $\langle a\rangle \in \Sigma$ 我们看到:一方面,$\langle a\rangle$ 是包含 $a$ 的理想;另一方面,$\langle a\rangle$ 是所有包含 $a$ 的理想的交,所以 $\langle a\rangle$ 是 $R$ 的包含 $a$ 的最小理想

主理想的构成

设 $R$ 为环,$a \in R$,则

  • 如果 $R$ 是有单位元的环,则
  • 如果 $R$ 是交换环,则
  • 如果 $R$ 是有单位元的交换环,则

  • 整数环 $\mathbf{Z}$ 的每个理想都是主理想

  • 模 $m$ 剩余类环 $\mathbf{Z}_{m}$ 的每个理想都是主理想

多元理想

设 $R$ 为环,$a_{1},a_{2},\cdots,a_{s} \in R$,则 $\left\langle a_{1}\right\rangle,\left\langle a_{2}\right\rangle,\cdots,\left\langle a_{s}\right\rangle$ 都是 $R$ 的理想。令

则 $\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\right\rangle$ 为 $R$ 的理想,称为 $R$ 的由 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}$ 生成的理想。易知,$\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\right\rangle$ 是 $R$ 的含 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}$ 的最小理想

商环

设 $R$ 是一个环,$I$ 是环 $R$ 的一个理想,则 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的子加群,从而 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的正规子群,于是有商群:

其加法运算定义为

定义 $R / I$ 的乘法:

称环 $R / I$ 为环 $R$ 关于它的理想 $I$ 的商环

设 $R$ 为环,$I$ 是 $R$ 的理想,则

  • $\overline{0}=I$ 为 $R / I$ 的零元
  • 如果 $R$ 有单位元 $e$,且 $e \notin I$,则 $\bar{e}=e+I$ 为 $R / I$ 的单位元
  • 如果 $R$ 是交换环,则 $R / I$ 也是交换环

环的同态

设 $R$ 和 $R^{\prime}$ 为两个环,$\phi$ 是集合 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的映射。如果对任意的 $a,b \in R$,有

  • $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$
  • $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$

则称 $\phi$ 为环 $R$ 到环 $R^{\prime}$ 的一个同态映射,简称同态

  • 环同态就是环之间保持运算的映射
  • 如果同态映射 $\phi$ 是单映射,则称 $\phi$ 为单同态
  • 如果 $\phi$ 是满映射,则称 $\phi$ 为满同态,此时,称环 $R$ 与 $R^{\prime}$ 同态,记作 $\phi: R \sim R^{\prime}$
  • 如果 $\phi$ 既是单同态,又是满同态,则称 $\phi$ 为同构,此时,称环 $R$ 与 $R^{\prime}$ 同构,记作 $\phi: R \cong R^{\prime}$
  • 与群的相应概念类似,环的同构是环之间的一个等价关系,并且从环的观点来看,同构的环有完全相同的代数性质

零同态

设 $R$ 与 $R^{\prime}$ 是两个环,对任意的 $a \in R$,令

则对任意的 $a,b \in R$,

所以 $\phi$ 是 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的一个同态,这个同态称为零同态

自然同态

设 $R$ 是环,$I$ 是 $R$ 的理想。对任意的 $a \in R$,令

则 $\eta$ 为 $R$ 到它的商环 $R / I$ 的满映射。又对任意的 $a$,$b \in R$,

所以 $\eta$ 为 $R$ 到它的商环 $R / I$ 的一个满同态,这个同态称为自然同态

性质

设 $\phi$ 是环 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的同态,则对任意的 $a \in R$,

  • $\phi\left(0_{R}\right)=0_{R^{\prime}}$
  • $\phi(n a)=n \phi(a),\quad \forall n \in \mathbf{Z}$
  • $\phi\left(a^{n}\right)=(\phi(a))^{n},\quad \forall n \in \mathbf{N}$

设 $R$ 与 $R^{\prime}$ 都是有单位元的环,$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是它们的单位元,$\phi$ 是 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的环同态

  • 如果 $\phi$ 是满同态,则 $\phi(e)=e^{\prime}$
  • 如果 $R^{\prime}$ 为无零因子环,且 $\phi(e) \neq 0$,则 $\phi(e)=e^{\prime}$
  • 如果 $\phi(e)=e^{\prime}$,则对 $R$ 的任一单位 $u$,$\phi(u)$ 是 $R^{\prime}$ 的单位,且 $(\phi(u))^{-1}=\phi\left(u^{-1}\right)$

设 $\phi$ 为环 $R$ 到环 $R^{\prime}$ 的同态映射,称集合

为环同态 $\phi$ 的,记作 $\operatorname{Ker} \phi$

设 $\phi$ 为环 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的环同态,则 $\operatorname{Ker} \phi$ 为 $R$ 的理想。

环同态基本定理

设 $\phi$ 是环 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的满同态,则有环同构

环的第二同构定理

设 $S$ 为 $R$ 的子环,$I$ 为 $R$ 的理想,则 $S \cap I$ 是 $S$ 的理想且

证明显然 $I$ 为环 $S+I$ 的理想,从而有自然同态

因而 $\eta$ 在 $S$ 上的限制

是一个 $S$ 到 $(S+I) / I$ 的同态
又对任意的 $\overline{s+x} \in(S+I) / I(s \in S,x \in I)$,有

所以 $\left.\eta\right|_{S}$ 为满同态,而

从而 $S \cap I$ 是 $S$ 的理想,由环同态基本定理知,有环同构

环的扩张定理

设 $\bar{S}$ 与 $R$ 是两个没有公共元素的环,$\bar{\phi}$ 是环 $\bar{S}$ 到环 $R$ 的单同态,则存在一个与环 $R$ 同构的环 $S$ 及由环 $S$ 到 $R$ 的同构映射 $\phi$,使 $\bar{S}$ 为 $S$ 的子环且 $\left.\phi\right|_{\bar{S}}=\bar{\phi}$

素理想

设 $R$ 是一个交换环,$P$ 是 $R$ 的真理想。如果对任意的 $a,b \in R$,由 $a b \in P$,可推出 $a \in P$ 或 $b \in P$,则称 $P$ 为 $R$ 的一个素理想

  • 设 $n$ 为正整数,$\langle n\rangle$ 为 $\mathbf{Z}$ 的素理想的充分必要条件是 $n$ 为素数

设 $R$ 是有单位元 $e \neq 0$ 的交换环,$I$ 是 $R$ 的理想,则 $I$ 是 $R$ 的素理想的充分必要条件是 $R / I$ 是整环

极大理想

设 $R$ 是一个交换环,$M$ 是 $R$ 的真理想。如果对 $R$ 的任一包含 $M$ 的理想 $N$,必有 $N=M$ 或 $N=R$,则称 $M$ 为 $R$ 的一个极大理想

设 $R$ 是有单位元 $e$ 的交换环,$I$ 为 $R$ 的理想,则 $I$ 是 $R$ 的极大理想的充分必要条件是 $R / I$ 是域

设 $R$ 是一个有单位元的交换环,则 $R$ 的每个极大理想都是素理想

  • 若没有单位元,则不一定成立
  • 素理想不一定是极大理想
  • 非零素理想不一定是极大理想

特征

设 $R$ 为环,如果存在最小的正整数 $n$,使得对所有的 $a \in R$,有 $n a=0$,则称 $n$ 为环 $R$ 的特征。如果这样的正整数不存在,则称环 $R$ 的特征为 $0$。环 $R$ 的特征记作 $\operatorname{Char} R$

  • $\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}$ 的特征都等于 $0$
  • 一般地,如果 $R$ 是一个数环,则 $\operatorname{Char} R=0$
  • 设 $\mathbf{Z}_{m}$ 是模 $m$ 剩余类环,则对每个 $\bar{n} \in \mathbf{Z}_{m}$,有而对于任何正整数 $k<m$,有所以 $\operatorname{Char} \mathbf{Z}_{m}=m$
  • 对于 $\mathbf{Z}_{m}$ 上的一元多项式环 $\mathbf{Z}_{m}[x]$,也有 $\operatorname{Char} \mathbf{Z}_{m}[x]=m$
  • 一个有限环的特征是一个正整数

设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环,如果 $e$ 关于加法的阶为无穷大,那么 $R$ 的特征等于 $0$。如果 $e$ 关于加法的阶等于 $n$,那么 $\operatorname{Char} R=n$

整环的特征是 $0$ 或者是一个素数,域也是

同态与特征

设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环,则映射

是环 $\mathbf{Z}$ 到 $R$ 的同态

设 $R$ 是有单位元的环

  • 如果 $R$ 的特征为 $n>0$,则 $R$ 包含一个与 $\mathbf{Z}_{n}$ 同构的子环
  • 如果 $R$ 的特征为 $0$,则 $R$ 包含一个与 $\mathbf{Z}$ 同构的子环

设 $F$ 是域

  • 如果 $F$ 的特征是 $0$,则 $F$ 包含一个与有理数域同构的子域
  • 如果 $F$ 的特征是素数 $p$,则 $F$ 包含一个与模 $p$ 剩余类环 $\mathbf{Z}_{p}$ 同构的子域

素域

一个域 $F$ 如果不含任何真子域,则称 $F$ 是一个素域

设 $F$ 是个域

  • 如果 $\operatorname{Char} F=0$,那么 $F$ 包含一个与 $\mathbf{Q}$ 同构的素域
  • 如果 $\operatorname{Char} F=p>0$,那么 $F$ 包含一个与 $\mathbf{Z}_{p}$ 同构的素域