置顶：定义辨析

• 映射
• 单射
• 满射
• 关系
• 等价关系
• 等价类
• 商集
• 模 m 剩余类
• 分类
• 代数运算
• 群
• 单位元
• 逆元
• 交换群/阿贝尔群
• 群的阶
• 有限群
• 无限群
• 零元
• 负元
• 加群
• 乘群
• 乘法表/群表/凯莱表
• 方幂
• n 次单位根群
• 子群
• 平凡子群
• 真子群
• 群的中心
• 中心化子
• 生成子群
• 生成元组
• 同构映射
• 同构
• 自同构
• 变换群
• 对称群
• 元素的阶
• 循环群
• 生成元
• 模 p 原根
• n 次对称群
• 置换群
• 置换
• 轮换
• 对换
• 偶置换
• 奇置换
• n 次交代群
• 陪集
• 正规子群/不变子群
• 单群
• 商群
• 同态映射
• 同态
• 零同态
• 满同态
• 单同态
• 自然同态
• 象
• 原象
• 群同态的核
• 外直积
• 内直积
• 交换群
• 环
• 交换环
• 乘法单位元
• 可逆元/单位
• 单位群
• 零环
• 整数环
• 模 m 剩余类环
• 域
• 有理数域
• 实数域
• 复数域
• 直和
• 子环
• 平凡子环
• 环的中心
• 左零因子
• 右零因子
• 无零因子环
• 整环
• 高斯整环
• 除环
• 体
• 理想
• 真理想
• 平凡理想
• 主理想
• 商环
• 环同态的核
• 素理想
• 极大理想
• 特征
• 素域

置顶：解题范式

证明相等

两个集合 $A,B$ 相等：

1. 证明 $A \subset B$
2. 证明 $B \subset A$

两个数 $a,b$ 相等：

1. 证明 $a \mid b$
2. 证明 $b \mid a$

等价关系

若要证明 $\sim$ 是一个等价关系：

1. 证明反身性
2. 证明对称性
3. 证明传递性

代数运算

若要证明集合 $A$ 中的运算 $\cdot$ 是一个代数运算：

1. 证明封闭性
2. 证明唯一性（通常显然）

代数运算

若要证明集合 $A$ 关于运算 $\cdot$ 构成一个群：

1. 证明 $\cdot$ 是代数运算
2. 证明结合律（左右结合律）
3. 证明单位元 $e$ 存在（左右单位元）
4. 证明逆元存在（左右逆元）

有限集

设 $G=\left\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right\}$，则对任意的 $a \in G$，

$$G a=\left\{a_{1} a,a_{2} a,\cdots,a_{n} a\right\} \subseteq G$$

如果有 $x,y \in G$，使 $x a=y a$，则由右消去律或者无零因子得 $x=y$，由此推出，当 $i \neq j$ 时，有 $a_{i} a \neq a_{j} a$，从而 $|G a|=|G|$，所以 $G a=G$

子群的判定

三条定理！

群同构

若要证明两个群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构：

1. 构造群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素间的对应关系 $\phi$，并证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
   • 即证明 $\forall x,y \in G$，若 $x=y$，则 $\phi(x)=\phi(y)$
2. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的单射
   • 即对任意的 $x,y \in G$，证明由 $\phi(x)=\phi(y)$ 可推出 $x=y$
3. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满射
   • 即对任意的 $x^{\prime} \in G^{\prime}$，证明存在（构造） $x \in G$，使 $\phi(x)=x^{\prime}$
4. 证明 $\phi$ 保持运算
   • 即对任意的 $x,y \in G$，证明 $\phi(x y)=\phi(x) \phi(y)$

群同态

若要证明 $G / K \cong G^{\prime}$：

1. 建立群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素之间的对应关系 $\phi$，并证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
2. 证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满射
3. 证明 $\phi$ 保持运算 $$\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$$
4. 综上 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射
5. 计算同态的核 $\operatorname{Ker} \phi$，使得 $K=\operatorname{Ker} \phi$
6. 应用群同态基本定理得 $G / \operatorname{Ker} \phi \cong G^{\prime}$

环

若要证明 $R$ 是一个环：

1. 证明加法和乘法封闭：$\forall x,y \in R$：$x+y\in R$，$xy \in R$
2. 证明加法满足结合律和交换律：$\forall x,y,z \in R$：$x+y=y+x$，$x+(y+z)=(x+y)+z$
3. 找到加法零元：$\exists 0 \in R,\forall x \in R$：$x+0=x$
4. 找到加法负元：$\forall x \in R,\exists -x \in R$：$x+(-x)=0$
5. 证明乘法满足结合律：$\forall x,y,z \in R$：$(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y \cdot z)$
6. 证明乘法对加法满足两个分配律：$\forall x,y,z \in R$ $$\begin{array}{c} x\cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z\\ (y+z)\cdot x = y\cdot x + z\cdot x \end{array}$$
7. 综上可得 $R$ 是一个环
8. 还可以增加条件，说明 $R$ 是交换环/$R$ 有单位元
9. 若有乘法逆元，则 $R$ 是一个域

子环

若要证明 $S$ 是 $R$ 的子环

1. 说明 $S$ 是 $R$ 的非空子集（通常显然）
2. 证明 $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的加法子群，可以使用 $\forall a,b \in S$，有 $a-b \in S$（减法封闭）
3. $S$ 关于 $R$ 的乘法封闭，即对任意的 $a,b \in S$，有 $a b \in S$

理想

若要证明 $I$ 是 $R$ 的理想：

1. 说明 $I$ 是 $R$ 的非空子集（通常显然）
2. 证明 $\forall r_{1},r_{2} \in I$，$r_{1}-r_{2} \in I$（减法封闭）
3. 证明 $\forall r \in I$，$s \in R$，$r s,s r \in I$（乘法吸收）

环同态

若要证明 $\phi : R \rightarrow R^{\prime}$ 是一个同态映射：

1. 证明 $\phi$ 为 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的映射
2. 证明 $\phi$ 保持运算 $$\begin{array}{c} \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\\ \phi(a b)=\phi(a) \phi(b) \end{array}$$
3. 综上 $\phi$ 是 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的同态映射
4. 若能证明 $\phi$ 是满射，则环 $R$ 与 $R^{\prime}$ 同态

极大理想

若要证明 $I$ 是 $R$ 的极大理想：

1. 说明 $I$ 是 $R$ 的真理想
2. 设 $J$ 是 $R$ 的任意理想，且 $I \subsetneq J \subseteq R$（左右夹击）
3. 任取 $x \in J$ 且 $x \notin I$
4. 根据 $x \notin I$，获取约束条件
5. 构造 $1 = \cdots \in J$（这一步可能比较困难）
6. 因此 $J=R$
7. 故 $I$ 是 $R$ 的极大理想

特征

若要证明 $R$ 的特征为 $n$，$n \ne 0$：
方法一：

1. 给出正整数 $n$，使得 $\forall a \in R, na=0$（存在 $n$）
2. 证明 $\forall k, 1\le k <n, \exists b \in R, kb\ne 0$（没有比 $n$ 更小的）

方法二：（若 $R$ 有单位元）

1. 找出 $R$ 的单位元 $e$
2. 计算 $e$ 关于加法的阶 $n$
3. 特征 $\operatorname{Char} R = n$

若要证明 $R$ 的特征为 $n=0$：

1. $\exists a \in R, na=0 \Rightarrow n=0$

第一章 群

二元关系

设 $S$ 是一个非空集合，$\mathcal{R}$ 是关于 $S$ 的元素的一个条件。如果对 $S$ 中任意一个有序元素对 $(a,b)$，我们总能确定 $a$ 与 $b$ 是否满足条件 $\mathcal{R}$，就称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个关系。如果 $a$ 与 $b$ 满足条件 $\mathcal{R}$，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $\mathcal{R}$，记作 $a\mathcal{R}b$；否则称 $a$ 与 $b$ 无关系 $\mathcal{R}$。关系 $\mathcal{R}$ 也称为二元关系

• 注意 $\mathcal{R}$ 的确定性，“总能”表示忽略验证所需的时间和复杂度

等价关系

设 $\mathcal{R}$ 是非空集合 $S$ 的一个关系，如果 $\mathcal{R}$ 满足

• 反身性，即对任意的 $a \in S$，有 $a \mathcal{R} a$
• 对称性，即若 $a \mathcal{R} b$，则 $b \mathcal{R} a$
• 传递性，即若 $a \mathcal{R} b$，且 $b \mathcal{R} c$，则 $a \mathcal{R} c$

则称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个等价关系，并且如果 $a \mathcal{R} b$，则称 $a$ 等价于 $b$，记作 $a \sim b= \{[a], a\in S\}$

• 注意可能存在孤立元素，即存在 $a$，对于任意 $b$，$a \not\sim b$。
• 不能根据传递性和对称性推出自反性。（反例：$a$ 可以是孤立元素且没有自反性）

等价类

如果是集合 $S$ 的一个等价关系，对 $a \in S$，令

$$[a]=\{x \in S \mid x \sim a\}$$

称子集 $[a]$ 为 $S$ 的一个等价类。$S$ 的全体等价类的集合称为集合 $S$ 在等价关系下的商集，记 $S / \sim$

同余关系与剩余类

设 $m$ 是正整数，在整数集 $\mathbf{Z}$ 中，规定

$$a \mathcal{R} b \Longleftrightarrow m \mid a-b,\quad \forall a,b \in \mathbf{Z}$$

则

• 对任意整数 $a$，有 $m \mid a-a$
• 若 $m \mid a-b$，则 $m \mid b-a$
• 若 $m \mid a-b$，$m \mid b-c$，则 $m \mid a-c$
  所以 $\mathcal{R}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个等价关系。显然 $a$ 与 $b$ 等价当且仅当 $a$ 与 $b$ 被 $m$ 除有相同的余数，因此称这个关系为同余关系，并记作 $a \equiv b(\bmod m)$

设 $a \in \mathbb{Z}$，则

$$\begin{aligned} {[a] } & =\{x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \quad(\bmod m)\} \\ & =\{x \in \mathbb{Z}|m| x-a\} \\ & =\{a+m z \mid z \in \mathbb{Z}\}, \end{aligned}$$

$[a]$ 称为整数集 $\mathbb{Z}$ 的一个（与 $a$ 同余的）模 m 剩余类，在数论中，$[a]$ 常记作 $\bar{a}$，而相应的商集称为 $\mathbb{Z}$ 的模 m 剩余类集，记作 $\mathbb{Z}_{m}$
由

$$\bar{a}=\bar{b} \Longleftrightarrow m \mid a-b,$$

易得

$$\begin{array}{l} \overline{0}=\{\cdots,-2 m,-m,0,m,2 m,\cdots\},\\ \overline{1}=\{\cdots,-2 m+1,-m+1,1,m+1,2 m+1,\cdots\},\\ \cdots \cdots \\ \overline{m-1}=\{\cdots,-2 m-1,-m-1,-1,m-1,2 m-1,\cdots\} \end{array}$$

是模 $m$ 的全体不同的剩余类，所以

$$\mathbb{Z}_{m}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\}$$

分类

如果非空集合 $S$ 是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合 $S$ 的一种分类，其中每个子集称为 $S$ 一个类。如果 $S$ 的子集族 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 构成 $S$ 的一种分类，则记作 $\mathcal{P}=\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 由此定义可知，集合 $S$ 的子集族 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 构成 $S$ 的一种分类当且仅当

• $S=\bigcup_{i \in I} S_{i}$

• $S_{i} \cap S_{j}=\varnothing$，$i \neq j$

• 第一个条件说明 $\left\{S_{i}\right\}$ 这些子集无遗漏地包含了 $S$ 的全部元素

• 第二个条件说明两个不同的子集无公共元素，从而 $S$ 的元素属于且仅属于一个子集
• 这表明，$S$ 的一个分类必须满足不漏不重的原则

分类与等价关系的关系

• 集合 $S$ 的任何一个等价关系都确定了 $S$ 的一种分类，且其中每一个类都是集合 $S$ 的一个等价类。
• 反之，集合 $S$ 的任何一种分类也都给出了集合 $S$ 的一个等价关系，且相应的等价类就是原分类中的那些类。
• 也就是说，一个集合的分类可以通过等价关系来描述；另一方面，等价关系也可以用集合的分类来表示

等价关系数目

如果用 $B(n)$ 表示一个具有 $n$ 个元素的集合上的不同等价关系的个数，则有下列的递推公式：

$$B(n+1)=\sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} B(k),\quad n \geqslant 1$$

其中 $\mathrm{C}_{n}^{k}$ 为二项式系数，并规定 $B(0)=1,B(1)=1$

代数运算

设 $A$ 是一个非空集合，若对 $A$ 中任意两个元素 $a,b$，通过某个法则“$\cdot$”，有 $A$ 中唯一确定的元素 $c$ 与之对应，则称法则“$\cdot$”为集合 $A$ 上的一个代数运算。元素 $c$ 是 $a,b$ 通过运算“$\cdot$” 作用的结果，将此结果记为 $a \cdot b=c$

换句话说代数运算满足封闭性和唯一性：

• $\forall a,b \in A$，$a\cdot b\in A$
• 若 $a_1\cdot b_1=c_1$，$a_2\cdot b_2=c_2$，$a_1=a_2$，$b_1=b_2$，则必有 $c_1=c_2$

群

设 $G$ 是一个非空集合，“$\cdot$”是 $G$ 上的一个代数运算，即 (G0) 对所有的 $a,b \in G$，有 $a \cdot b \in G$。如果 $G$ 的运算还满足

• (G1) 结合律，即对所有的 $a,b,c \in G$，有 $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$
• (G2) $G$ 中有元素 $e$，使对每个 $a \in G$，有 $e \cdot a=a \cdot e=a$
• (G3) 对 $G$ 中每个元素 $a$，存在元素 $b \in G$，使 $a \cdot b=b \cdot a=e$

则称 $G$ 关于运算“$\cdot$”构成一个群，记作 $(G,\cdot)$。在不致引起混淆的情况下，也称 $G$ 为群。

• (G2) 中的元素 $e$ 称为群 $G$ 的单位元或恒等元；
• (G3) 中的元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元
• 群 $G$ 的单位元 $e$ 和每个元素的逆元都是唯一的
• $G$ 中元素 $a$ 的唯一的逆元通常记作 $a^{-1}$
• 如果群 $G$ 的运算还满足交换律，即对任意的 $a$，$b \in G$，有 $a \cdot b=b \cdot a$，则称 $G$ 是一个交换群或阿贝尔群

• 群 $G$ 中元素的个数称为群 $G$ 的阶，记为 $|G|$。如果 $|G|$ 是有限数，则称 $G$ 为有限群，否则称 $G$ 为无限群

• 当群 $G$ 的运算用加号“+”表示时，通常将 $G$ 的单位元记作 $0$，并称 $0$ 为 $G$ 的零元；将 $a \in G$ 的逆元记作 $-a$，并称 $-a$ 为 $a$ 的负元

• 习惯上，只有当群为交换群时，才用“+”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群
• 相应地，将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，运算的结果叫做积。在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写
• 今后，如不作特别声明，总假定群的运算是乘法

乘法表

形如下表的表通常称为群的乘法表，也称群表或凯莱表。人们常用群表来表示有限群的运算

$$\begin{array}{c|cccc} \hline \circ & e & \cdots & b & \cdots \\ \hline e & e & \cdots & b & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots \\ a & a & \cdots & a \circ b & \cdots \\ \hline \end{array}$$

在一个群表中，

• 表的左上角列出了群的运算符号（有时省略）
• 表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面）
• 表的最左列按同样的次序列出群的所有元素
• 表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘积
  • 注意，在乘积 $a \circ b$ 中，左边的因子 $a$ 是左列上的元素，右边的因子 $b$ 是最上面一行的元素
• 由群表很容易确定一个元素的逆元素
• 如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群

群的性质

设 $G$ 为群，则有

• 群 $G$ 的单位元是唯一的
• 群 $G$ 的每个元素的逆元是唯一的
• 对任意的 $a \in G$，有 $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$
• 对任意的 $a,b \in G$，有 $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$
• 在群中消去律成立，即设 $a,b,c \in G$，如果 $a b=a c$，或 $b a=c a$，则 $b=c$

设 $G$ 是群，那么对任意的 $a,b \in G$，方程

$$a x=b \quad \text{及} \quad y a=b$$

在 $G$ 中都有唯一解

方幂

群的定义中的结合律表明，群中三个元素 $a,b,c$ 的乘积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成：$a b c$。进一步可知，在群 $G$ 中，任意 $k$ 个元素 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 $a_{1} a_{2} \cdots a_{k}$。据此，可以定义群的元素的方幂：

乘群

对任意的正整数 $n$，定义

$$a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{个} a}$$

再约定

$$\begin{aligned} a^{0} & =e,\\ a^{-n} & =\left(a^{-1}\right)^{n} \quad(n \text{为正整数}), \end{aligned}$$

则 $a^{n}$ 对任意整数 $n$ 都有意义，并且不难证明，对任意的 $a \in G$，$m,n \in \mathbf{Z}$，有下列的指数法则：

• $a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}$
• $\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n m}$
• 如果 $G$ 是交换群，则 $(a b)^{n}=a^{n} b^{n}$

加群

当 $G$ 是加群时，元素的方幂则应改写为倍数

$$\begin{array}{c} n a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text{个} a}\\ 0 a=0,\\ (-n) a=n(-a) \end{array}$$

相应地，指数法则变为倍数法则，

• $n a+m a=(n+m) a$
• $m(n a)=(m n) a$
• $n(a+b)=n a+n b$

因为加群是交换群，所以第三条总是成立的

群的判定

设 $G$ 是一个具有代数运算的非空集合，则 $G$ 关于所给的运算构成群的充分必要条件是

• $G$ 的运算满足结合律
• $G$ 中有一个元素 $e$（称为 $G$ 的左单位元），使对任意的 $a \in G$，有 $e a=a$
• 对 $G$ 的每一个元素 $a$，存在 $a^{\prime} \in G$（称为 $a$ 的左逆元），使 $a^{\prime} a=e$。这里 $e$ 是 $G$ 的左单位元

换句话说明，一个具有乘法运算的非空集合 $G$，只要满足结合律，有左单位元，每个元素有左逆元，就构成一个群。

同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 $G$，如果满足结合律，有右单位元，且 $G$ 中每个元素有右逆元，则 $G$ 也构成群

设 $G$ 是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合，则 $G$ 构成群的充分必要条件是对任意的 $a,b \in G$，方程

$$a x=b \quad \text{与}\quad y a=b$$

在 $G$ 中都有解

设 $G$ 是一个具有乘法运算的非空有限集合，如果 $G$ 满足结合律，且两个消去律成立，则 $G$ 构成群

• 要注意的是，如果没有有限的条件，一个具有代数运算的集合，仅仅满足结合律和两个消去律，并不一定构成群

常用例子

• $\mathbf{Z}_{m}=\{\bar{a} \mid a=0,1,2,\cdots,m-1\}$ 是整数集 $\mathbf{Z}$ 的一种分类
• 整数集 $\mathbf{Z}$ 关于数的加法构成群，这个群称为整数加群
• 全体非零有理数的集合 $\mathbf{Q}^{*}$，关于数的乘法构成交换群
• 全体非零实数的集合 $\mathbf{R}^{*}$
• 全体非零复数的集合 $\mathbf{C}^{*}$ 关于数的乘法也构成交换群
• 全体 $n$ 次单位根组成的集合 $$\begin{aligned} U_{n} & =\left\{x \in \mathbf{C} \mid x^{n}=1\right\} \\ & =\left\{\left.\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n} \right\rvert\,k=0,1,2,\cdots,n-1\right\} \end{aligned}$$ 关于数的乘法构成一个 $n$ 阶交换群，通常称这个群为 n 次单位根群
• 设 $m$ 是大于 $1$ 的正整数，则 $\mathbf{Z}_{m}$ 关于剩余类的加法构成加群，这个群称为 $\mathbf{Z}$ 的模 $m$ 剩余类加群
• 设 $m$ 是大于 $1$ 的正整数，记 $$U(m)=\left\{\bar{a} \in \mathbf{Z}_{m} \mid(a,m)=1\right\},$$ 则 $U(m)$ 关于剩余类的乘法构成群，群 $(U(m),\cdot)$ 称为 $\mathbf{Z}$ 的模 $m$ 单位群，显然这是一个交换群，不一定是循环群。当 $p$ 为素数时，$U(p)$ 常记作 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$，易知 $$\mathbf{Z}_{p}^{*}=\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\}$$ 这是一个循环群，$U(m)$ 的阶等于欧拉函数 $\phi(m)$

子群

定义

设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个非空子集。如果 $H$ 关于 $G$ 的运算也构成群，则称 $H$ 为 $G$ 的一个子群，记作 $H<G$

• 对任意群 $G$，$G$ 本身以及只含单位元 $e$ 的子集 $H=\{e\}$ 是 $G$ 的子群，这两个子群称为 $G$ 的平凡子群。群 $G$ 的其他子群称为 $G$ 的非平凡子群
• 群 $G$ 的不等于它自身的子群称为 $G$ 的真子群

设 $m$ 是一个整数，令

$$H=\{m z \mid z \in \mathbf{Z}\},$$

则 $H$ 为整数加群 $\mathbf{Z}$ 的子群。这个群称为由 $m$ 所生成的子群，常记作 $m \mathbf{Z}$ 或 $\langle m\rangle$

判定

由于群 $G$ 的运算满足结合律，所以结合律在 $G$ 的任何关于 $G$ 的运算封闭的非空子集 $H$ 上都成立。于是，由群的定义知，如果群 $G$ 的非空子集 $H$ 满足下列条件，则 $H$ 是群 $G$ 的子群：

• $H$ 在群的运算下封闭
• $H$ 有单位元
• $H$ 包含它的每个元素的逆元

设 $G$ 为群，$H$ 是群 $G$ 的非空子集，则 $H$ 成为群 $G$ 的子群的充分必要条件是

• 对任意 $a,b \in H$，有 $a b \in H$
• 对任意 $a \in H$，有 $a^{-1} \in H$

设 $G$ 为群，$H$ 是群 $G$ 的非空子集，则 $H$ 成为 $G$ 的子群的充分必要条件是

• 对任意的 $a,b \in H$，有 $a b^{-1} \in H$

性质

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的子群，则

• 群 $G$ 的单位元 $e$ 是 $H$ 的单位元；
• 对任意的 $a \in H$，$a$ 在 $G$ 中的逆元 $a^{-1}$ 就是 $a$ 在 $H$ 中的逆元

设 $G$ 为群，记

$$C(G)=\{g \in G \mid g x=x g,\forall x \in G\}$$

则 $C(G)$ 是 $G$ 的子群。称 $C(G)$ 为 $G$ 的中心

设 $a$ 是群 $G$ 的元素，定义 $a$ 在 $G$ 中的中心化子为

$$C(a)=\{g \in G \mid g a=a g\}$$

则 $C(a)$ 是 $G$ 的子群，且满足

$$C(G)=\bigcap_{a \in G} C(a)$$

• 群 $G$ 的任意两个子群的交集一定是 $G$ 的子群
• 群 $G$ 的任意两个子群的并集不一定是 $G$ 的子群

生成子群

定义

设 $S$ 是群 $G$ 的一个非空子集，令 $M$ 表示 $G$ 中所有包含 $S$ 的子群所组成的集合，即

$$M=\{H<G \mid S \subseteq H\}$$

$G$ 本身显然包含 $S$，所以 $G \in M$，从而 $M$ 非空。令

$$K=\bigcap_{H \in M} H$$

则 $K$ 是 $G$ 的子群，称 $K$ 为群 $G$ 的由子集 $S$ 所生成的子群，简称生成子群，记作 $\langle S\rangle$，即

$$\langle S\rangle=\bigcap_{S \subseteq H<G} H$$

子集 $S$ 称为 $\langle S\rangle$ 的生成元组

如果 $S=\left\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}\right\}$ 为有限集，则记

$$\langle S\rangle=\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}\right\rangle$$

性质

设 $S$ 是群 $G$ 的非空子集，则

• $\langle S\rangle$ 是 $G$ 的包含 $S$ 的最小子群
• $\langle S\rangle=\left\{a_{1}^{l_{1}} a_{2}^{l_{2}} \cdots a_{k}^{l_{k}} \mid a_{i} \in S, l_{i}= \pm 1, k \in \mathbf{N}\right\}$

特别注意：上式中的 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 可以取重复的值。若我们用不重复的 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 来表示，那么这个乘法式子可能是无限长（因为不一定有交换律），不太好表示了。

特例

• 当 $S$ 只包含群 $G$ 的一个元素 $a$ 时，由于 $$a^{l_{1}} a^{l_{2}} \cdots a^{l_{k}}=a^{\sum_{i=1}^{k} l_{i}}$$ 所以 $$\langle a\rangle=\left\{a^{r} \mid r \in \mathbf{Z}\right\}$$ 这种由一个元素 $a$ 生成的子群称为由 $a$ 生成的循环群
• 当 $S$ 只包含群 $G$ 的两个元素 $a,b$，且 $a b=b a$，则 $$\langle a,b\rangle=\left\{a^{m} b^{n} \mid m,n \in \mathbf{Z}\right\}$$

群的同构

定义

设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一一对应，使

$$\phi(a \cdot b)=\phi(a) \cdot \phi(b),\quad \forall a,b \in G,$$

则称 $\phi$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个同构映射，简称同构，并称群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构，记作

$$\phi: \, G \cong G^{\prime}$$

• 群 $G$ 到它自身的同构映射称为群 $G$ 的自同构，恒等同构是自同构
• 同构映射一定是可逆变换
• 同构的群之间可以有不止一个同构映射
• 在群同构的定义中，虽然使用了同一个符号“ $\cdot$ ”表示群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的运算，但事实上，$a \cdot b$ 与 $\phi(a) \cdot \phi(b)$ 分别是在群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 中进行的运算，一般来说它们是不相同的

证明两个群同构的步骤

1. 构造群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素间的对应关系 $\phi$，并证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
2. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的单映射。即对任意的 $x,y \in G$，证明由 $\phi(x)=\phi(y)$ 可推出 $x=y$
3. 证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满映射。即对任意的 $x^{\prime} \in G^{\prime}$，证明存在 $x \in G$，使 $\phi(x)=x^{\prime}$
4. 证明 $\phi$ 保持运算。即对任意的 $x,y \in G$，证明 $\phi(x y)=\phi(x) \phi(y)$

性质

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同构映射，$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单位元，$a$ 是 $G$ 的任一元素，则

• $\phi(e)=e^{\prime}$
• $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$
• $\phi$ 是可逆映射，且 $\phi$ 的逆映射 $\phi^{-1}$ 是群 $G^{\prime}$ 到群 $G$ 的同构映射

设群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构

• 如果 $G$ 是交换群（Abel 群），则 $G^{\prime}$ 也是交换群
• 如果 $G$ 是有限群，则 $G^{\prime}$ 也是有限群，且 $|G|=\left|G^{\prime}\right|$

群的同构是一个等价关系，即

• 反身性：$G \cong G$
• 对称性：若 $G \cong G^{\prime}$，则 $G^{\prime} \cong G$

• 传递性：若 $G \cong G^{\prime}$，$G^{\prime} \cong G^{\prime \prime}$，则 $G \cong G^{\prime \prime}$

• 其中 $G,G^{\prime},G^{\prime \prime}$ 都是群

• 注意：同构关系是等价关系，映射不是等价关系！

自同构群

群 $G$ 的所有自同构关于变换的乘法构成一个群，记作 $\mathrm{Aut}(G)$，这个群称为 $G$ 的自同构群

变换群

背景

群同构的定义表明：在同构映射之下，对应的元素在各自的运算之下有相同的关系。从而，同构的群具有完全相同的群性质。因此，当研究一个群时，可以撇开群的元素的个性以及运算的具体含义不管，而且由一个群所得到的一切性质，对任意一个与之同构的群都适用。反之，为了研究一个抽象的群，可以转而去研究一个具体的与之同构的群。如果这个具体的群的性质搞清楚了，那么就可以借助于群同构，把这个群的性质转化为原来那个抽象的群的性质了。在所有的群中，最早研究的一类群是和集合的可逆变换联系在一起的。这类群通常称为变换群。而一般群的概念正是从变换群的概念抽象出来的。容易证明，集合上的所有可逆变换对于变换的复合运算构成群。

定义

非空集合 $X$ 的全体可逆变换关于变换的合成所构成的群 $S_x$ 称为集合 $X$ 的对称群，$S_x$ 的任一子群称为 $X$ 的一个变换群

凯莱定理

每一个群都同构于一个变换群。

（Todo：凯莱定理的证明）

阶

定义

设 $G$ 是一个群，$e$ 是 $G$ 的单位元，$a \in G$。如果存在正整数 $r$，使 $a^{r}=e$，则称 $a$ 是有限阶的，否则称 $a$ 是无限阶的。使 $a^{r}=e$ 的最小正整数 $r$ 称为元素 $a$ 的阶，记作 $\operatorname{ord} a=r$。如果 $a$ 是无限阶的，则记作 $\operatorname{ord} a=\infty$

• 在任何一个群中，单位元的阶总是 $1$
• 在整数加群 $\mathbf{Z}$ 中，除零元 $0$ 外，每个元素都是无限阶的

性质

设 $G$ 为群，$e$ 为 $G$ 的单位元

• 对任意的 $a \in G$，有 $\operatorname{ord} a=\operatorname{ord} a^{-1}$
• 设 $\operatorname{ord} a=n$，如果有 $m \in \mathbf{Z}$，使 $a^{m}=e$，则 $n \mid m$
• 设 $\operatorname{ord} a=n$，则对任意的 $m \in \mathbf{Z}$，$\operatorname{ord} a^{m}=\frac{n}{(n,m)}$
• 设 $\operatorname{ord} a=n$，$\operatorname{ord} b=m$，如果 $a b=b a$，且 $\operatorname{gcd}(n,m)=1$，则 $\operatorname{ord}(a b)=m n$

设 $G$ 是一个有限群，$|G|=n$，则对任意的 $a \in G$，$a$ 是有限阶的，且 $\operatorname{ord} a\mid \left| G \right|$，即有限群的任何一个元素的阶都是群阶数的因子。

循环群

定义

设 $G$ 是群，如果存在 $a \in G$，使得 $G=\langle a\rangle$（a 的生成子群），则称 $G$ 为一个循环群，并称 $a$ 为 $G$ 的一个生成元。当 $G$ 的元素个数无限时，称 $G$ 为无限循环群；当 $G$ 的元素个数为 $n$ 时，称 $G$ 为 n 阶循环群

• 整数加群 $\mathbf{Z}$ 是无限循环群
• 设 $m$ 为正整数，则模 $m$ 剩余类加群 $\mathbf{Z}_{m}$ 是 $m$ 阶循环群
• $n$ 次单位根群 $U_{n}$ 是一个 $n$ 阶循环群

性质

设 $p$ 为素数，则 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$ 是 $p-1$ 阶循环群。对于循环群 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$，如果 $\bar{a}$ 是 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$ 的生成元，则称数 $a$ 是 $\mathbf{Z}$ 的一个模 p 原根

设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群，则

• 如果 $|G|=\infty$，则 $a$ 与 $a^{-1}$ 是 $G$ 的两个仅有的生成元
• 如果 $|G|=n$，则 $G$ 恰有 $\phi(n)$ 个生成元，且 $a^{r}$ 是 $G$ 的生成元的充分必要条件是 $(n,r)=1$，其中，$\phi(n)$ 是欧拉函数

原根判定定理：
设 $m \geqslant 3$，$(g,m)=1$，则 $g$ 是模 $m$ 的原根的充要条件是，对于 $\varphi(m)$ 的每个素因数 $p$，都有 $g^{\frac{\varphi(m)}{p}} \not \equiv 1(\bmod m)$

循环群的任一子群也是循环群

• 设 $\operatorname{ord} a=n$，$r$ 是任一整数。如果 $(n,r)=d$，则 $$\left\langle a^{r}\right\rangle=\left\langle a^{d}\right\rangle$$
• 设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群，
  • 如果 $|G|=\infty$，则 $G$ 的全部子群为 $$\left\{\left\langle a^{d}\right\rangle \mid d=0,1,2,\cdots\right\}$$
  • 如果 $|G|=n$，则 $G$ 的全部子群为 $$\left\{\left\langle a^{d}\right\rangle \mid d \mathrm{为} n \mathrm{的正因子}\right\}$$

循环群的结构定理

设 $G$ 为循环群

• 如果 $G=\langle a\rangle$ 是无限循环群，则 $G \cong(\mathbf{Z},+)$
• 如果 $G=\langle a\rangle$ 是 $n$ 阶循环群，则 $G \cong\left(\mathbf{Z}_{n},+\right)$

置换群与对称群

前面提到非空集合的全体可逆变换关于映射的合成构成集合 $X$ 的对称群 $S_X$，并且把 $S_X$ 的任一子群叫做 $X$ 的一个变换群。如果 $X$ 是由 $n$ 个元素组成的有限集合，则通常把的一个可逆变换叫做一个 $n$ 阶置换，称 $S_X$ 为 n 次对称群，并把 $S_X$ 记作 $S_n$（因为集合 $X$ 有哪些元素与群的特性无关），同时称 $S_n$ 的子群为置换群。

• 定理：每一个有限群都同构于一个置换群

置换

由于集合 $X$ 的元素本身与我们所讨论的问题无关，所以可不妨记

$$X=\{1,2,3,\cdots,n\}$$

设 $\sigma$ 为 $X$ 的任一置换，如果 $\sigma$ 把 $1$ 映成 $k_{1}$，$2$ 映成 $k_{2}$，……，$n$ 映成 $k_{n}$，则可以把这个置换记作

$$\sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ k_{1} & k_{2} & k_{3} & \cdots & k_{n} \end{array}\right)$$

如果固定第一行元素的次序，则第二行就是 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列，且每一个置换都唯一对应了一个这样的排列。反之，每一个 $n$ 阶排列也可按上式得到唯一的一个 $n$ 阶置换 。由于 $n$ 个数共有 $n!$ 个 $n$ 阶排列，所以 $n$ 个元素的集合共有 $n!$ 个 $n$ 阶置换。换句话说，$n$ 次对称群 $S_{n}$ 的阶是 $n!$

置换的合成

置换的乘法习惯上总是按从右到左的顺序进行的。在本教材中，总是按从右到左的顺序计算置换的乘法。

两个置换 $\sigma,\tau$ 的乘积 $\sigma \cdot \tau$ 是按通常映射合成的法则进行的，即

$$(\sigma \cdot \tau)(i)=\sigma(\tau(i)),\quad i=1,2,\cdots,n,$$

它是先用 $\tau$ 作用于 $i$，再用 $\sigma$ 作用于 $\tau(i)$

• 当 $n \geqslant 3$ 时，$S_{n}$ 都不是交换群

置换的性质

设置换

$$\tau=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n} \end{array}\right),$$

则对任一 $n$ 阶置换 $\sigma$，

$$\sigma \tau \sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \sigma\left(k_{1}\right) & \sigma\left(k_{2}\right) & \cdots & \sigma\left(k_{n}\right) \end{array}\right)$$

轮换

设 $\sigma$ 是一个 $n$ 阶置换，如果存在 $1$ 到 $n$ 中的 $r$ 个不同的数 $i_{1},i_{2},\cdots,i_{r}$，使

$$\sigma\left(i_{1}\right)=i_{2},\sigma\left(i_{2}\right)=i_{3},\cdots,\sigma\left(i_{r-1}\right)=i_{r},\sigma\left(i_{r}\right)=i_{1},$$

并且 $\sigma$ 保持其余的元素不变，则称 $\sigma$ 是一个长度为 $r$ 的轮换，简称 $r$ 轮换，记作

$$\sigma=\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{r}\right)$$

• 2 轮换称为对换
• 1 轮换就是恒等置换，并且显然有 $$(1)=(2)=\cdots=(n)$$
• 轮换的表示一般不是唯一的 $.$ 例如，置换 $$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 6 & 5 & 1 & 7 \end{array}\right)$$ 可分别表示为 $$\begin{aligned} \sigma & =\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 4 & 6 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 2 & 4 & 6 & 1 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 4 & 6 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 6 & 1 & 2 & 4 \end{array}\right) \\ \end{aligned}$$

轮换的性质

设 $\sigma=\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{r}\right)$ 与 $\tau=\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{s}\right)$ 是两个轮换，如果

$$i_{k} \neq j_{l},\quad k=1,2,\cdots,r;\,l=1,2,\cdots,s$$

则称 $\sigma$ 与 $\tau$ 为两个不相交的轮换

• 任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的
• 一个置换不一定就是轮换，但是每一个置换可表为一些不相交轮换的乘积
• 将一个置换分解为不相交轮换的乘积，如果不考虑因子的次序和乘积中 $1$ 轮换的个数，则这个分解式是唯一的

对于轮换的乘积，容易证明下面一些有用的等式：

$$\begin{array}{l} (k\ l)(k\ a \cdots b)(l\ c \cdots d)=(k\ a \cdots b\ l\ c \cdots d) \\ (k\ l)(k\ a \cdots b\ l\ c \cdots d)=(k\ a \cdots b)(l\ c \cdots d) \end{array}$$ $$(k\ c \cdots d)(k\ a \cdots b)=(k\ a \cdots b\ c \cdots d)$$ $$\begin{array}{l} (x\ y\ c \cdots d)(x\ y\ a \cdots b)=(x\ c \cdots d)(y\ a \cdots b) \\ (y\ x\ c \cdots d)(x\ y\ a \cdots b)=(x)(y\ a \cdots b\ c \cdots d) \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{l} (x\ y\ z\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x\ z\ a \cdots b\ y\ c \cdots d)\\ (x\ z\ y\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x\ c \cdots d)(y)(z\ a \cdots b)\\ (y\ x\ z\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x)(y\ c \cdots d)(z\ a \cdots b)\\ (y\ z\ x\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(y\ x\ z\ a \cdots b\ c \cdots d)\\ (z\ x\ y\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x\ c \cdots d\ z\ a \cdots b\ y)\\ (z\ y\ x\ c \cdots d)(x\ y\ z\ a \cdots b)=(x)(y)(z\ a \cdots b\ c \cdots d)\\ \end{array}$$

• 其中 $a,\cdots,b,c,\cdots,d,k,l,x,y,z$ 为互不相同的正整数
• 注意置换是从右到左

如果 $\sigma$ 是一个 $r$ 轮换，则 $\operatorname{ord} \sigma=r$
如果 $\sigma$ 是一些不相交轮换的乘积

$$\sigma=\sigma_{1} \sigma_{2} \cdots \sigma_{s}$$

其中 $\sigma_{i}$ 是 $r_{i}$ 轮换，则 $\operatorname{ord} \sigma=\left[r_{1},r_{2},\cdots,r_{s}\right]$

• 每个置换都可表为对换的乘积
• 将一个置换表为对换的乘积，表法一般不唯一
• 将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的

可表成偶数个对换的乘积的置换叫偶置换，可表成奇数个对换的乘积的置换叫奇置换

• 任何两个偶（奇）置换之积是偶置换
• 一个偶置换与一个奇置换之积是奇置换

• 一个偶（奇）置换的逆置换仍是一个偶（奇）置换

• 当 $n>1$ 时，在全体 $n$ 阶置换中，奇置换与偶置换各有 $\frac{n!}{2}$ 个

• 在 $S_{n}$ 中，全体偶置换构成 $S_{n}$ 的子群
• 由 $S_{n}$ 的全体偶置换所构成的子群称为 n 次交代群，记作 $A_{n}$

子集的运算

乘积

设 $A$ 与 $B$ 是群 $G$ 的两个非空子集，称集合

$$A B=\{a b \mid a \in A,b \in B\}$$

为群的子集 $A$ 与 $B$ 的乘积
如果 $g$ 为群 $G$ 的一个元素，$A={g}$，则 $A B$ 与 $B A$ 分别简记为

$$g B=\{g b \mid b \in B\} \quad \mathrm{和} \quad B g=\{b g \mid b \in B\}$$

• 当 $G$ 为加群时，上述记号应相应地改为 $$\begin{aligned} A+B & =\{a+b \mid a \in A,b \in B\},\\ g+A & =\{g+a \mid a \in A\},\\ A+g & =\{a+g \mid a \in A\}, \end{aligned}$$ 并称 $A+B$ 为 $A$ 与 $B$ 的和

简单性质

• “和”有交换律 $$A+B=B+A,\quad g+A=A+g$$
• 当群 $G$ 不是交换群时，$A B$ 与 $B A$ 一般是不相同的
• 即使 $A B=B A$，也并不意味着对任意的 $a \in A$，$b \in B$，一定有 $a b=b a$
• $A B=B A$ 的意思是，对任意的 $a \in A, b \in B$，存在 $a^{\prime} \in A, b^{\prime} \in B$，使 $a b=b^{\prime} a^{\prime}$
• 由 $A B=A C$，一般不能推出 $B=C$

子集运算的性质定理

设 $A,B,C$ 是群 $G$ 的非空子集，$g$ 是群 $G$ 的一个元素，则

• $A(B C)=(A B) C$
• 如果 $g A=g B$ 或 $A g=B g$，则 $A=B$
• 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群，则 $H \cdot H=H$
• 如果 $A, B$ 是群 $G$ 的两个子群，则 $A B$ 也是群 $G$ 的子群的充分必要条件是 $A B=B A$

陪集

定义

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群。对任意的 $a \in G$，群 $G$ 的子集

$$a H=\{a h \mid h \in H\} \quad \mathrm{与} H a=\{h a \mid h \in H\}$$

分别称为 $H$ 在 $G$ 中的左陪集和右陪集

• $H$ 的一个陪集一般不是 $G$ 的子群
• $G$ 的两个不同的元素可能生成 $H$ 的同一个左陪集
• $H$ 的一个左陪集 $aH$ 一般不等于相应的右陪集 $Ha$

性质

设 $H$ 是群 $G$ 的子群，$a,b \in G$，则

• $a \in a H$
• $a H=H$ 的充分必要条件是 $a \in H$
• $a H$ 为子群的充分必要条件是 $a \in H$
• $a H=b H$ 的充分必要条件是 $a^{-1} b \in H$
• $a H$ 与 $b H$ 或者完全相同，或者无公共元素
• $|a H|=|b H|$

由此定理可以知道，群 $G$ 可表示成子群 $H$ 的一些互不相交的左陪集之并。因此，群 $G$ 的子群 $H$ 的全体左陪集的集合组成群 $G$ 的一个分类，即

$$G=\bigcup_{g_{i} \in G} g_{i} H$$

其中 $g_{i}$ 取遍 $H$ 的不同陪集的代表元素。特别地，如果 $G$ 为有限群，则

$$|G|=\sum_{i=1}^{t}\left|g_{i} H\right|=\sum_{i=1}^{t}|H|=t|H|$$

其中 $t$ 为 $H$ 的不同左陪集的个数

左陪集与有右陪集

相应的结论对右陪集也成立：

$$H a=H b \Longleftrightarrow b a^{-1} \in H$$

用 $G / H$ 与 $H \backslash G$ 分别表示 $H$ 的全体左陪集和全体右陪集组成的集合，即

$$\begin{array}{l} G / H=\{g H \mid g \in G\} \\ H \backslash G=\{H g \mid g \in G\} \end{array}$$

则两者间有下述关系

设 $H$ 为 $G$ 的子群，则

$$\begin{aligned} \phi: \quad G / H & \longrightarrow H \backslash G,\\ a H & \longmapsto H a^{-1} \end{aligned}$$

是 $G / H$ 到 $H \backslash G$ 的一一对应

指数

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群。称子群 $H$ 在群 $G$ 中的左陪集或右陪集的个数（有限或无限）为 $H$ 在 $G$ 中的指数，记作 $[G:H]$

拉格朗日定理：设 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的子群，则

$$|G|=|H|[G:H]$$

拉格朗日定理说明，有限群 $G$ 的子群 $H$ 的阶数与它在 $G$ 中的指数，都是群 $G$ 的阶数的因子
由拉格朗日定理，可以得到下面的推论

• 设 $G$ 是有限群，则 $G$ 中每一个元素的阶都是 $|G|$ 的因子

• 设 $G$ 为有限群，$|G|=n$，则对任意的 $a \in G$，有 $a^{n}=e$

• 应用到模 $p$ 单位群 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$（$p$ 是素数），可以得到初等数论中著名的定理：

费马小定理：设 $p$ 为素数，则对任意一个与 $p$ 互素的整数 $a$，有

$$a^{p-1} \equiv 1 \quad(\bmod p)$$

应用拉格朗日定理，可以推测在一个有限群中，可能有怎样阶数的子群与元素，只是一种可能性，不能仅仅依据这种可能性，就断定这样的子群或元素一定存在

各阶群的结构

• 一阶群是循环群：$G={e}$
• 二阶群是循环群：$G={e, a} = \langle a\rangle$
• 三阶群是循环群：$G={e, a, a^2} = \langle a\rangle$
• 四阶群是循环群或克莱因四元群：
  • $G={e, a, a^2, a^3} = \langle a\rangle$
  • $G={e,a,b,ab}$，$ab=ba$，$a^2=b^2=e$
• 五阶群是循环群：$G={e, a, a^2, a^3, a^4} = \langle a\rangle$
• 六阶群是循环群或三次对称群
  • $G={e, a, a^2, a^3, a^4, a^5} = \langle a\rangle$
  • $G \cong S_3$

正规子群

定义

设 $H$ 是群 $G$ 的子群，如果对每个 $a \in G$，都有 $a H=H a$，则称 $H$ 是群 $G$ 的一个正规子群或不变子群，记作 $H \triangleleft G$

• 条件 $a H=H a$ 仅仅表示两个集合 $a H$ 与 $H a$ 相等，不可推出 $a h=h a$ 对 $H$ 中所有的元素 $h$ 都成立
• 对任意的 $h \in H$，存在 $h^{\prime} \in H$，使 $a h=h^{\prime} a$
• 群 $G$ 的单位元群 ${e}$ 和群 $G$ 本身都是 $G$ 的正规子群，这两个正规子群称为 $G$ 的平凡正规子群
• 如果群 $G$ 只有平凡的正规子群，且 $G \neq{e}$，则称 $G$ 为单群
• 如果 $G$ 是交换群，则 $G$ 的一切子群都是 $G$ 的正规子群
• 设 $H, K$ 都是 $G$ 的子群，如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群且 $H \subseteq K$，则 $H$ 也是 $K$ 的正规子群
• 设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的子群，如果 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]=2$，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群
• 若 $H$ 是 $K$ 的正规子群，$K$ 是 $G$ 的正规子群，$K$ 不一定是 $G$ 的正规子群

性质定理

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群，则下列四个条件等价：

• $H$ 是 $G$ 的正规子群
• 对任意的 $a \in G$，有 $a H a^{-1}=H$
• 对任意的 $a \in G$，有 $a H a^{-1} \subseteq H$
• 对任意的 $a \in G$，$h \in H$，有 $a h a^{-1} \in H$

设 $G$ 为群，$H_{1}$，$H_{2}$ 是 $G$ 的正规子群，则

$$H_{1} \cap H_{2} \mathrm{与} H_{1} H_{2}$$

都是 $G$ 的正规子群

• 事实上，前面提到，两个子群的交一定是子群，而两个子群的合成要是子群的充分必要条件是可交换。而只要其中一个子群是正规子群，那么就是可交换的

陪集的乘法

正规子群的基本特点是：它的每一个左陪集与相应的右陪集完全一致。因此，对于群 $G$ 的正规子群 $H$，可不必区分它的左陪集 $a H$ 与右陪集 $H a$，而直接称 $a H$ 或 $H a$ 为它的一个陪集。用 $G / H$ 表示它的所有陪集组成的集合，即

$$G / H=\{a H \mid a \in G\}$$

下面规定 $G / H$ 的运算，以使 $G / H$ 关于给定的运算构成群。

对任意的 $a H, b H \in G / H$，规定：

$$(a H) \cdot(b H)=(a b) H$$

设 $a^{\prime} H=a H$，$b^{\prime} H=b H$，则

$$\begin{aligned} a^{\prime} H \cdot b^{\prime} H & =\left(a^{\prime} b^{\prime}\right) H=a^{\prime}\left(b^{\prime} H\right)=a^{\prime}(b H)=a^{\prime}(H b) \\ & =\left(a^{\prime} H\right) b=(a H) b=a(H b)=(a b) H \\ & =a H \cdot b H \end{aligned}$$

所以上述乘法是 $G / H$ 的一个代数运算。

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的一个正规子群，则 $H$ 的所有陪集组成的集合

$$G / H=\{a H \mid a \in G\}$$

关于陪集的乘法 $a H \cdot b H=(a b) H$ 构成群。

商群

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的正规子群。$H$ 的所有陪集 $G / H$ 关于陪集的乘法构成的群称为群 $G$ 关于子群 $H$ 的商群，仍记作 $G / H$。

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的正规子群，则

• 商群 $G / H$ 的单位元是 $e H(=H)$
• $a H$ 在 $G / H$ 中的逆元是 $a^{-1} H$

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的任一子群。如果 $G$ 是交换群，则商群 $G / H$ 也是交换群。由于 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]$ 就是 $H$ 在 $G$ 中的陪集的个数，所以 $|G / H|= [G:H]$。特别地，当 $G$ 是有限群时，

$$|G / H|=[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$$

有限群 $G$ 的商群的阶是群 $G$ 的阶数的因子。

同态

定义

设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射。如果对任意的 $a,b \in G$ 有

$$\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$$

则称 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个同态映射，简称同态

• 当同态映射 $\phi$ 是满射时，称 $\phi$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满同态，并称群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同态，记作 $\phi: G \sim G^{\prime}$（或 $G \stackrel{\phi}{\sim} G^{\prime}$）
• 当同态映射 $\phi$ 是单射时，称 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的单同态
• 群的同构映射一定是既单且满的同态映射
• 反之，当群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射 $\phi$ 既是单同态又是满同态时，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同构映射
• 在上式中，虽然用同一个记号“$\cdot$”来表示群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的运算，但这不表示等式两边的运算 $a b$ 与 $\phi(a) \phi(b)$ 是一样的

自然同态

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的正规子群，对商群 $G / H$，令

$$\begin{aligned} \eta:G & \longrightarrow G / H,\\ a & \longrightarrow a H, \end{aligned}$$

则 $\eta$ 是满映射，且对任意 $a$，$b \in G$，有

$$\eta(a b)=(a b) H=a H \cdot b H=\eta(a) \eta(b)$$

所以 $\eta$ 是 $G$ 到它的商群 $G / H$ 的同态映射。通常称这样的同态映射为自然同态

性质

设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射，$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单位元，$a \in G$，则

• $\phi$ 将 $G$ 的单位元映到 $G^{\prime}$ 的单位元，即 $\phi(e)=e^{\prime}$
• $\phi$ 将 $a$ 的逆元映到 $\phi(a)$ 的逆元，即 $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$
• 设 $n$ 是任一整数，则 $\phi\left(a^{n}\right)=(\phi(a))^{n}$
• 如果 $\operatorname{ord} a$ 有限，则 $\operatorname{ord} \phi(a) \mid \operatorname{ord} a$

象和原象

设 $\phi$ 为群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的映射，$A, B$ 分别为 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的非空子集，记

$$\begin{aligned} \phi(A) & =\{\phi(x) \mid x \in A\},\\ \phi^{-1}(B) & =\{x \in G \mid \phi(x) \in B\}, \end{aligned}$$

则 $\phi(A)$ 与 $\phi^{-1}(B)$ 分别是 $G^{\prime}$ 与 $G$ 的非空子集。$\phi(A)$ 与 $\phi^{-1}(B)$ 分别称为子集 $A$ 与 $B$ 在 $\phi$ 下的象与原象

• 注意，$\phi^{-1}(B)$ 仅仅是一个集合的记号，并不表示映射 $\phi$ 是可逆的

同态映射与子群

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射，$H$ 与 $K$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的子群，则

• $\phi(H)$ 是 $G^{\prime}$ 的子群
• $\phi^{-1}(K)$ 是 $G$ 的子群
• 如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $\phi(H)$ 是 $\phi(G)$ 的正规子群
• 如果 $K$ 是 $G^{\prime}$ 的正规子群，则 $\phi^{-1}(K)$ 是 $G$ 的正规子群

核

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射，$e^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 的单位元，则称 $e^{\prime}$ 在 $G$ 中的原象

$$\phi^{-1}\left(\left\{e^{\prime}\right\}\right)=\left\{a \in G \mid \phi(a)=e^{\prime}\right\}$$

为同态映射 $\phi$ 的核，记作 $\operatorname{Ker} \phi$

群同态基本定理

设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的满同态，$K=\operatorname{Ker} \phi$，则

$$G / K \cong G^{\prime}$$

同态与同构

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射，则 $\operatorname{Ker} \phi$ 是 $G$ 的正规子群。我们知道，群同态保持了群双方的运算。因此，群 $G$ 与其同态象 $\phi(G)$ 在结构上有一定的相似之处。同态核可以看成是群 $G$ 与其同态象 $\phi(G)$ 之间的相似程度的一个度量。如果 $\operatorname{Ker} \phi=\{e\}$，则 $G \cong \phi(G)$，从而 $G$ 与 $\phi(G)$ 的结构完全相同。如果 $\operatorname{Ker} \phi=G$，即 $\phi(G)=\left\{e^{\prime}\right\}$，则不能由 $\phi(G)$ 获得群 $G$ 的任何信息。而在其他情况下，$\phi(G)$ 都或多或少地给出了群 $G$ 的部分信息。另一方面，由于同态核 $\operatorname{Ker} \phi$ 是群 $G$ 的正规子群，所以由商群 $G / \operatorname{Ker} \phi$ 又可以反过来了解群 $G$ 的同态象 $\phi(G)$ 的性质

应用群同态基本定理证明群的同构，一般有以下五个步骤：

1. 建立群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素之间的对应关系 $\phi$，并证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
2. 证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的满映射
3. 证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射
4. 计算同态的核 $\operatorname{Ker} \phi$
5. 应用群同态基本定理得 $G / \operatorname{Ker} \phi \cong G^{\prime}$

第二同构定理

设 $H$ 为 $G$ 的子群，$K$ 为 $G$ 的正规子群，则 $H \cap^{\prime} K$ 是 $H$ 的正规子群且

$$H /(H \cap K) \cong H K / K$$

外直积

定义

设 $G_{1},G_{2}$ 是两个群，构造集合 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的卡氏积

$$G=\left\{\left(a_{1},a_{2}\right) \mid a_{1} \in G_{1},a_{2} \in G_{2}\right\}$$

并在 $G$ 中定义乘法运算

$$\left(a_{1},a_{2}\right) \cdot\left(b_{1},b_{2}\right)=\left(a_{1} b_{1},a_{2} b_{2}\right),\quad\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right) \in G$$

则 $G$ 关于上述定义的乘法构成群，称为群 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积，记作 $G=G_{1} \times G_{2}$

• 如果 $e_{1},e_{2}$ 分别是群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 的单位元，则 $\left(e_{1},e_{2}\right)$ 是 $G_{1} \times G_{2}$ 的单位元
• 设 $\left(a_{1},a_{2}\right) \in G$，则 $\left(a_{1},a_{2}\right)^{-1}=\left(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}\right)$
• 当 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 都是加群时，$G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积也可记作 $G_{1} \oplus G_{2}$

性质定理

设 $G=G_{1} \times G_{2}$ 是群 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积，则

• $G$ 是有限群的充分必要条件是 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 都是有限群。
• 当 $G$ 是有限群时，有 $$|G|=\left|G_{1}\right| \cdot\left|G_{2}\right|$$
• $G$ 是交换群的充分必要条件是 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 都是交换群
• $G_{1} \times G_{2} \cong G_{2} \times G_{1}$

设 $G_{1}$，$G_{2}$ 是两个群，$a$ 和 $b$ 分别是 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 中的有限阶元素，则对于 $(a,b) \in G_{1} \times G_{2}$，有

$$\operatorname{ord}(a,b)=[\operatorname{ord} a,\operatorname{ord} b]$$

设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 分别是 $m$ 阶及 $n$ 阶的循环群，则 $G_{1} \times G_{2}$ 是循环群的充要条件是 $(m,n)=1$

内直积

定义

设 $H$ 和 $K$ 是群 $G$ 的正规子群。如果群 $G$ 满足条件

$$G=H K,\quad H \cap K=\{e\},$$

则称 $G$ 是 $H$ 和 $K$ 的内直积

判定定理

设 $H$ 和 $K$ 是 $G$ 的子群，则 $G$ 是 $H$ 和 $K$ 的内直积的充分必要条件是 $G$ 满足如下两个条件：

• $G$ 中每个元素可唯一地表为 $h k$ 的形式，其中 $h \in H$，$k \in K$
• $H$ 中每个元素与 $K$ 中任意元素可交换，即：对任意 $h \in H$，$k \in K$，有 $h k=k h$

性质定理

如果群 $G$ 是正规子群 $H$ 和 $K$ 的内直积，则 $H \times K \cong G$

反之，如果群 $G=G_{1} \times G_{2}$，则存在 $G$ 的正规子群 $G_{1}^{\prime}$ 和 $G_{2}^{\prime}$，且 $G_{i}^{\prime}$ 与 $G_{i}$ 同构 $(i=1,2)$，使得 $G$ 是 $G_{1}^{\prime}$ 与 $G_{2}^{\prime}$ 的内直积

• 从本定理中可看到，内外直积的概念本质上是一致的，所以有时可不对内外直积加以区分,而统称为群的直积

多个群的直积

设 $G_{1},G_{2},\cdots,G_{n}$ 是有限多个群。构造集合

$$G=\left\{\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \mid a_{i} \in G_{i},i=1,2,\cdots,n\right\},$$

并在 $G$ 中定义运算

$$\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \cdot\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\left(a_{1} b_{1},a_{2} b_{2},\cdots,a_{n} b_{n}\right),$$

则 $G$ 关于上述运算构成群，称为群 $G_{1},G_{2},\cdots,G_{n}$ 的外直积

设 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 是群 $G$ 的有限多个正规子群。如果 $G$ 满足以下两个条件，就称 $G$ 是 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的内直积：

• $G=H_{1} H_{2} \cdots H_{n}=\left\{h_{1} h_{2} \cdots h_{n} \mid h_{i} \in H_{i}\right\}$
• $\left(H_{1} H_{2} \cdots H_{i}\right) \cap H_{i+1}=\{e\},i=1,2,\cdots,n-1$（任意两个交起来都是单位群）

对于多个群的直积，有下述结论
如果群 $G$ 是有限多个子群 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的内直积，则 $G$ 同构于 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的外直积

第二章 环

环的定义

设 $R$ 是一个非空集合，如果在 $R$ 上定义了两数运算“$+$”（称为加法）和“$\cdot$”（称为乘法），并且满足

• (R1) $R$ 关于加法构成一个交换群
• (R2) 乘法结合律成立，即对任意的 $a,b,c\in R$，有 $$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b \cdot c)$$

• (R3) 乘法对加法的两个分配律成立，即对任意的 $a,b,c \in R$，有

  $$\begin{array}{c} a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c\\ (b+c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a \end{array}$$

  则称 $(R,+,\cdot)$ 为一个环，或简称 $R$ 为环

• 由环的定义知 $(R,+)$ 是一个交换群，称为环的加法群。与前两章中关于加群的记号一样，$R$ 的加法单位元常用 0 表示，称为环 $R$ 的零元

• 环 $R$ 的元素 $a$ 的加法逆元称为 $a$ 的负元，记作 $-a$
• 由群的性质可知，$R$ 的零元及每个元素的负元都是唯一的
• 如果环 $R$ 的乘法还满足交换律，则称为交换环
• 如果环中存在元素 $e$，使对任意的 $a\in R$，有 $$ae = ea = a$$ 则称 $R$ 是一个有单位元的环，并称 $e$ 为 $R$ 的单位元（注意：环的单位元是乘法单位元）
• 一个环不一定有单位元
• 如果环有单位元，则单位元是唯一的
• 设环 $R$ 是有单位元的环，$a\in R$，如果存在 $b \in R$，使 $$ab=ba=e$$ 则称 $a$ 是 $R$ 的一个可逆元或单位，并称 $b$ 为 $a$ 的逆元，记作 $a^{-1}$
• 如果 $a$ 可逆则 $a$ 的逆元是唯一的
• 环的一个元素不一定是可逆的
• 对于一个有单位元的环 $R$，其所有可逆元组成的集合关于环 $R$ 的乘法构成群。这个群称为环 $R$ 的单位群，记作 $U(R)$
• 设 $R=0$，规定 $0+0=0\cdot 0=0$，则 $R$ 构成环称为零环
  • 零环是唯一的一个有单位元且单位元等于零元，并且零元也可逆的环
  • 今后，如无特别声明，凡提到有单位元的环时我们总假定这个环不是零环，因此环的单位元也就不等于零元

常见的环

• 整数集 $\mathbb{Z}$、有理数集 $\mathbb{Q}$、实数集 $\mathbb{R}$、复数集 $\mathbb{C}$ 对于通常数的加法与乘法构成有单位元 $1$ 的交换环，分别称为整数环、有理数域、实数域、复数域、它们的单位群分别是 $\{ 1,-1 \}$、$\mathbb{Q}^*$、$\mathbb{R}^*$ 和 $\mathbb{Q}^*$
• 数域 $F$ 上全体 $n(n>1)$ 阶方阵 $M_n(F)$ 的集合关于矩阵的加法与乘法构成一个有单位元 $E$（单位矩阵）的非交换环，称为数域 $F$ 上的 $n$ 阶全矩阵环，这个环的单位群是 $GL_n(F)$
• 设 $m$ 为大于 $1$ 的正整数，则 $\mathbb{Z}$ 的模 $m$ 剩余类集 $$Z_m=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\}$$ 关于剩余类的加法和乘法构成有单位元的交换环，称为模 m 剩余类环，这个环的单位群是 $U(m)$

直和

设 $R_{1},R_{2},\cdots,R_{n}$ 为 $n$ 个环。令

$$R=R_{1} \oplus R_{2} \oplus \cdots \oplus R_{n}=\left\{\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \mid a_{i} \in R_{i},i=1,2,\cdots；n\right\}$$

对任意的 $\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right),\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) \in R$，规定

$$\begin{aligned} \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)+\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) & =\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right),\\ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \cdot\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) & =\left(a_{1} b_{1},a_{2} b_{2},\cdots,a_{n} b_{n}\right), \end{aligned}$$

则 $R$ 关于上面所定义的加法与乘法构成一个环。这个环称为环 $R_{1},R_{2},\cdots,R_{n}$ 的直和

• $R$ 有单位元的充分必要条件是每个 $R_{i}$ 都有单位元
• $R$ 是交换环的充分必要条件是每个 $R$ 都是交换环

环的性质

设 $R$ 是一个环，$a,b \in R$，则

• $a \cdot 0=0 \cdot a=0$
• $-(-a)=a$
• $a \cdot(-b)=(-a) \cdot b=-a b$
• $(-a) \cdot(-b)=a b$

利用负元的概念，可以定义环 $R$ 的减法“$-$”：
对任意的 $a,b \in R$，令

$$a-b=a+(-b)$$

移项法则

对任意的 $a,b,c \in R$，有以下移项法则：

$$a+b=c \Longleftrightarrow a=c-b$$

分配律

乘法对于减法还满足分配律，即对任意的 $a,b,c \in R$，有

$$\begin{array}{l} a(b-c)=a b-a c \\ (b-c) a=b a-c a \end{array}$$

倍数法则

对任意的 $m,n \in \mathbf{Z}$，$a,b \in R$，

• $m a+n a=(m+n) a$
• $m(a+b)=m a+m b$
• $m(n a)=(m n) a=n(m a)$
• $m(a b)=(m a) b=a(m b)$

指数法则

对任意的 $m,n \in \mathbf{N}$，$a,b \in R$，

• $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}$

• $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$

• 如果 $R$ 的元素 $a$ 是不可逆的，则 $a^{0}$ 与 $a^{-n}(n>0)$ 通常是没有意义的

• 当 $a b \neq b a$ 时，等式 $$(a \cdot b)^{n}=a^{n} \cdot b^{n}$$ 一般也不成立

广义分配律

设 $a \in R$，则对 $b_{i} \in R(i=1,2,\cdots,n)$，有

$$a\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a b_{i},\quad\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right) a=\sum_{i=1}^{n} b_{i} a$$

设 $a_{i},b_{j} \in R(i=1,2,\cdots,n$；$j=1,2,\cdots,m)$，则

$$\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{m} b_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} b_{j}$$

子环的定义

设 $(R,+,\cdot)$ 是一个环，$S$ 是 $R$ 的一个非空子集。如果 $S$ 关于 $R$ 的运算构成环，则称 $S$ 为 $R$ 的一个子环，记作 $S<R$

• 如果 $S$ 是 $R$ 的子环，则 $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的子加群
• $R$ 的零元 $0$ 就是 $S$ 的零元
• $S$ 中元素 $a$ 在 $R$ 中的负元 $-a$ 就是 $a$ 在 $S$ 中的负元
• 环 $R$ 本身以及由单独一个零元 $\{0\}$ 所构成的集合关于 $R$ 的运算显然都构成 $R$ 的子环，这两个子环称为环 $R$ 的平凡子环
• 即使一个环有单位元，其子环也可能没有单位元
• 即使一个环没有单位元，其子环也可能有单位元

子环的判定

设 $R$ 是一个环，$S$ 是 $R$ 的一个非空子集，则 $S$ 是 $R$ 的子环的充分必要条件是

• $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的加法子群
• $S$ 关于 $R$ 的乘法封闭，即对任意的 $a,b \in S$，有 $a b \in S$

设 $R$ 是一个环，$S$ 是 $R$ 的一个非空子集，则 $S$ 是 $R$ 的子环的充分必要条件是

• 对任意的 $a,b \in S$，$a-b \in S$
• 对任意的 $a,b \in S$，$a b \in S$

这就是说，环 $R$ 的子环 $S$ 是 $R$ 的关于减法与乘法封闭的非空子集

中心

设 $R$ 为环，则

$$C(R)=\{r \in R \mid r s=s r,\forall s \in R\}$$

为 $R$ 的一个子环，这个子环称为 $R$ 的中心

零因子

设 $R$ 为环，$a$，$b$ 为 $R$ 的两个非零元素，如果

$$a \cdot b=0,$$

则称 $a$ 为 $R$ 的一个左零因子，$b$ 为 $R$ 的一个右零因子

• 左零因子与右零因子统称为零因子
• 在一个有零因子的环中，右零因子不一定是左零因子
• 左零因子也不一定是右零因子
• 如果一个环有左零因子，也就一定有右零因子，反之亦然
• 如果一个环没有左零因子，当然也就没有右零因子，从而也就没有零因子
• 一个没有零因子的环称为无零因子环
• 在一个无零因子的环中，两个消去律成立，即对任意的 $a,b,c \in R$，$c \neq 0$，如果 $a c=b c$ 或 $c a=c b$，则 $a=b$
• 如果环 $R$ 中两个消去律有一个成立，则 $R$ 必是无零因子环，从而另一个消去律也成立

整环

一个无零因子的，有单位元 $e \neq 0$ 的交换环 $R$ 称为整环

全体形如

$$\mathbf{Z}[\mathrm{i}]=\{a+b \mathrm{i} \mid a,b \in \mathbf{Z}\}$$

的复数关于通常数的运算构成一个整环，环 $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]$ 称为高斯整环

类似地可以证明，对任一无平方因子的整数 $d(d \neq 1)$，数集

$$\mathbf{Z}[\sqrt{d}]=\{a+b \sqrt{d} \mid a,b \in \mathbf{Z}\}$$

也是整环

域

设 $F$ 是一个有单位元 $1_{F} \neq 0$ 的交换环。如果 $F$ 中每个非零元都可逆，则称 $F$ 是一个域

• 由于可逆元一定不是零因子，所以每个域都是整环
• 整环却不一定是域，如整数环 $\mathbf{Z}$，高斯整环 $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]$ 都不是域
• $\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{C}$ 都是域，分别称为有理数域、实数域和复数域

在域中定义商

设 $F$ 是一个域，$a,b \in F$ 如 $b \neq 0$，则 $b$ 可逆。因为域的乘法是可交换的，所以总有

$$a \cdot b^{-1}=b^{-1} \cdot a$$

因此，如果用记号

$$\frac{a}{b}$$

来表示这个乘积，是不会造成误解的。进一步规定

$$a \div b=\frac{a}{b}\left(=a b^{-1}=b^{-1} a\right),$$

并称 $\frac{a}{b}$ 是以 $b$ 除 $a$ 的商，由此便可以像普通分数那样进行运算

设 $\frac{a}{b},\frac{c}{d} \in F$，则

• $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Longleftrightarrow a d=b c$
• $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{a d \pm b c}{b d}$
• $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}$
• $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c} \quad(c \neq 0)$

除环和体

设 $R$ 是一个有单位元 $e \neq 0$ 的环。如果 $R$ 中每个非零元都可逆，则称 $R$ 是一个除环。非交换的除环称为体

四元数体

设 $\mathbf{H}$ 是所有形如

$$\left(\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{array}\right),\quad \alpha,\beta \in \mathbf{C}$$

的复矩阵所组成的集合，则 $\mathbf{H}$ 关于矩阵的加法和乘法构成一个体

令

$$\begin{array}{l} 1=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad \mathrm{i}=\left(\begin{array}{cc} \sqrt{-1} & 0 \\ 0 & -\sqrt{-1} \end{array}\right),\\ \mathrm{j}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right),\quad \mathrm{k}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} & 0 \end{array}\right), \end{array}$$

则有下面的运算性质：

$$\begin{array}{l} \mathrm{i}^{2}=\mathrm{j}^{2}=\mathrm{k}^{2}=-1；\\ \mathrm{ij}=-\mathrm{ji}=\mathrm{k}；\\ \mathrm{jk}=-\mathrm{kj}=\mathrm{i}；\\ \mathrm{ki}=-\mathrm{ik}=\mathrm{j} \end{array}$$

且 $\mathbf{H}$ 的任何一个元素

$$A=\left(\begin{array}{cc} a+b \sqrt{-1} & c+d \sqrt{-1} \\ -c+d \sqrt{-1} & a-b \sqrt{-1} \end{array}\right),\quad a,b,c,d \in \mathbf{R}$$

可唯一表为

$$A=a 1+b \mathrm{i}+c \mathrm{j}+d \mathrm{k}$$

从而

$$\mathbf{H}=\{a 1+b \mathbf{i}+c \mathrm{j}+d \mathbf{k} \mid a,b,c,d \in \mathbf{R}\}$$

理想

定义

设 $R$ 为环，$I$ 为 $R$ 的非空子集，如果 $I$ 满足

• 对任意的 $r_{1}$，$r_{2} \in I$，$r_{1}-r_{2} \in I$
• 对任意的 $r \in I$，$s \in R$，$r s,s r \in I$

则称 $I$ 为环 $R$ 的一个理想，记作 $I \triangleleft R$。又如果 $I \subsetneq R$，则称 $I$ 为 $R$ 的真理想

• 如果 $I$ 为 $R$ 的理想，则 $I$ 必为 $R$ 的子环
• $\{0\}$ 与 $R$ 本身显然都是 $R$ 的理想,这两个理想称为 $R$ 的平凡理想
• $\mathbb{Z}$ 的所有理想是 $\{d\mathrm{Z} \mid d\in \mathbb{Z}, d\ge 0\}$
• $\mathbb{Z}_{m}$ 的所有理想是 $\{d\mathrm{Z}_{m} \mid d=0 \text{或} d\mid m\}$

和与交

设 $R$ 为环，$I$，$J$ 都是 $R$ 的理想，集合

$$I+J=\{a+b \mid a \in I,b \in J\} \, \mathrm{与} \, I \cap J$$

分别称为理想 $I$ 与 $J$ 的和与交

• 设 $R$ 为环，$I$，$J$ 都是 $R$ 的理想，则 $I$ 与 $J$ 的和与交都是 $R$ 的理想
• 环 $R$ 的任意有限多个理想的和还是 $R$ 的理想
• 环 $R$ 的任意（有限或无限）多个理想的交还是 $R$ 的理想

主理想

设 $a \in R$，考察 $R$ 中含有元素 $a$ 的全部理想的集合

$$\Sigma=\{I \triangleleft R \mid a \in I\}$$

因为 $a \in R$，且 $R \triangleleft R$，所以 $R \in \Sigma$，从而 $\Sigma$ 非空。令

$$\langle a\rangle=\bigcap_{I \in \Sigma} I$$

则 $\langle a\rangle$ 为 $R$ 的一个理想，这个理想称为 $R$ 的由 $a$ 生成的主理想

因为 $a \in I(I \in \Sigma)$，所以 $a \in\langle a\rangle$，从而 $\langle a\rangle \in \Sigma$ 我们看到：一方面，$\langle a\rangle$ 是包含 $a$ 的理想；另一方面，$\langle a\rangle$ 是所有包含 $a$ 的理想的交，所以 $\langle a\rangle$ 是 $R$ 的包含 $a$ 的最小理想

主理想的构成

设 $R$ 为环，$a \in R$，则

• $$\langle a\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n} x_{i} a y_{i}+x a+a y+m a \mid x_{i},y_{i},x,y \in R,\,n \in \mathbf{N},\,m \in \mathbf{Z}\right\}$$
• 如果 $R$ 是有单位元的环，则 $$\langle a\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n} x_{i} a y_{i} \mid x_{i},y_{i} \in R,\,n \in \mathbf{N}\right\}$$
• 如果 $R$ 是交换环，则 $$\langle a\rangle=\{x a+m a \mid x \in R,m \in \mathbf{Z}\}；$$

• 如果 $R$ 是有单位元的交换环，则

  $$\langle a\rangle=a R=\{a r \mid r \in R\}$$

• 整数环 $\mathbf{Z}$ 的每个理想都是主理想

• 模 $m$ 剩余类环 $\mathbf{Z}_{m}$ 的每个理想都是主理想

多元理想

设 $R$ 为环，$a_{1},a_{2},\cdots,a_{s} \in R$，则 $\left\langle a_{1}\right\rangle,\left\langle a_{2}\right\rangle,\cdots,\left\langle a_{s}\right\rangle$ 都是 $R$ 的理想。令

$$\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\right\rangle=\left\langle a_{1}\right\rangle+\left\langle a_{2}\right\rangle+\cdots+\left\langle a_{s}\right\rangle,$$

则 $\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\right\rangle$ 为 $R$ 的理想，称为 $R$ 的由 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}$ 生成的理想。易知，$\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\right\rangle$ 是 $R$ 的含 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}$ 的最小理想

商环

设 $R$ 是一个环，$I$ 是环 $R$ 的一个理想，则 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的子加群，从而 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的正规子群，于是有商群：

$$R / I=\{\bar{x}=x+I \mid x \in R\}$$

其加法运算定义为

$$\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y},\quad x,y \in R$$

定义 $R / I$ 的乘法：

$$\bar{x} \cdot \bar{y}=\bar{x} \bar{y},\quad x,y \in R$$

称环 $R / I$ 为环 $R$ 关于它的理想 $I$ 的商环

设 $R$ 为环，$I$ 是 $R$ 的理想，则

• $\overline{0}=I$ 为 $R / I$ 的零元
• 如果 $R$ 有单位元 $e$，且 $e \notin I$，则 $\bar{e}=e+I$ 为 $R / I$ 的单位元
• 如果 $R$ 是交换环，则 $R / I$ 也是交换环

环的同态

设 $R$ 和 $R^{\prime}$ 为两个环，$\phi$ 是集合 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的映射。如果对任意的 $a,b \in R$，有

• $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$
• $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$

则称 $\phi$ 为环 $R$ 到环 $R^{\prime}$ 的一个同态映射，简称同态

• 环同态就是环之间保持运算的映射
• 如果同态映射 $\phi$ 是单映射，则称 $\phi$ 为单同态
• 如果 $\phi$ 是满映射，则称 $\phi$ 为满同态，此时，称环 $R$ 与 $R^{\prime}$ 同态，记作 $\phi: R \sim R^{\prime}$
• 如果 $\phi$ 既是单同态，又是满同态，则称 $\phi$ 为同构，此时，称环 $R$ 与 $R^{\prime}$ 同构，记作 $\phi: R \cong R^{\prime}$
• 与群的相应概念类似，环的同构是环之间的一个等价关系，并且从环的观点来看，同构的环有完全相同的代数性质

零同态

设 $R$ 与 $R^{\prime}$ 是两个环，对任意的 $a \in R$，令

$$\begin{aligned} \phi: R &\longrightarrow R^{\prime},\\ a &\longmapsto 0, \end{aligned}$$

则对任意的 $a,b \in R$，

$$\begin{aligned} \phi(a+b) & =0=\phi(a)+\phi(b),\\ \phi(a b) & =0=\phi(a) \phi(b), \end{aligned}$$

所以 $\phi$ 是 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的一个同态，这个同态称为零同态

自然同态

设 $R$ 是环，$I$ 是 $R$ 的理想。对任意的 $a \in R$，令

$$\begin{aligned} \eta:R & \longrightarrow R / I,\\ a & \longmapsto \bar{a}, \end{aligned}$$

则 $\eta$ 为 $R$ 到它的商环 $R / I$ 的满映射。又对任意的 $a$，$b \in R$，

$$\begin{aligned} \eta(a+b) & =\overline{a+b}=\bar{a}+\bar{b}=\eta(a)+\eta(b),\\ \eta(a b) & =\overline{a b}=\bar{a} \bar{b}=\eta(a) \eta(b), \end{aligned}$$

所以 $\eta$ 为 $R$ 到它的商环 $R / I$ 的一个满同态，这个同态称为自然同态

性质

设 $\phi$ 是环 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的同态，则对任意的 $a \in R$，

• $\phi\left(0_{R}\right)=0_{R^{\prime}}$
• $\phi(n a)=n \phi(a),\quad \forall n \in \mathbf{Z}$
• $\phi\left(a^{n}\right)=(\phi(a))^{n},\quad \forall n \in \mathbf{N}$

设 $R$ 与 $R^{\prime}$ 都是有单位元的环，$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是它们的单位元，$\phi$ 是 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的环同态

• 如果 $\phi$ 是满同态，则 $\phi(e)=e^{\prime}$
• 如果 $R^{\prime}$ 为无零因子环，且 $\phi(e) \neq 0$，则 $\phi(e)=e^{\prime}$
• 如果 $\phi(e)=e^{\prime}$，则对 $R$ 的任一单位 $u$，$\phi(u)$ 是 $R^{\prime}$ 的单位，且 $(\phi(u))^{-1}=\phi\left(u^{-1}\right)$

核

设 $\phi$ 为环 $R$ 到环 $R^{\prime}$ 的同态映射，称集合

$$K=\{a \in R \mid \phi(a)=0\}$$

为环同态 $\phi$ 的核，记作 $\operatorname{Ker} \phi$

设 $\phi$ 为环 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的环同态，则 $\operatorname{Ker} \phi$ 为 $R$ 的理想。

环同态基本定理

设 $\phi$ 是环 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的满同态，则有环同构

$$\widetilde{\phi}:R / \operatorname{Ker} \phi \cong R^{\prime}$$

环的第二同构定理

设 $S$ 为 $R$ 的子环，$I$ 为 $R$ 的理想，则 $S \cap I$ 是 $S$ 的理想且

$$S /(S \cap I) \cong(S+I) / I$$

证明显然 $I$ 为环 $S+I$ 的理想，从而有自然同态

$$\eta:S+I \longrightarrow(S+I) / I$$

因而 $\eta$ 在 $S$ 上的限制

$$\begin{aligned} \left.\eta\right|_{S}:S & \longrightarrow(S+I) / I,\\ s & \longmapsto \eta(s) \end{aligned}$$

是一个 $S$ 到 $(S+I) / I$ 的同态
又对任意的 $\overline{s+x} \in(S+I) / I(s \in S,x \in I)$，有

$$\left.\eta\right|_{S}(s)=\eta(s)=\bar{s}=\overline{s+x}$$

所以 $\left.\eta\right|_{S}$ 为满同态，而

$$\left.\operatorname{Ker} \eta\right|_{S}=\{s \in S \mid \eta(s)=\overline{0}\}=\{s \in S \mid s \in I\}=S \cap I$$

从而 $S \cap I$ 是 $S$ 的理想，由环同态基本定理知，有环同构

$$S /(S \cap I) \cong(S+I) / I$$

环的扩张定理

设 $\bar{S}$ 与 $R$ 是两个没有公共元素的环，$\bar{\phi}$ 是环 $\bar{S}$ 到环 $R$ 的单同态，则存在一个与环 $R$ 同构的环 $S$ 及由环 $S$ 到 $R$ 的同构映射 $\phi$，使 $\bar{S}$ 为 $S$ 的子环且 $\left.\phi\right|_{\bar{S}}=\bar{\phi}$

素理想

设 $R$ 是一个交换环，$P$ 是 $R$ 的真理想。如果对任意的 $a,b \in R$，由 $a b \in P$，可推出 $a \in P$ 或 $b \in P$，则称 $P$ 为 $R$ 的一个素理想

• 设 $n$ 为正整数，$\langle n\rangle$ 为 $\mathbf{Z}$ 的素理想的充分必要条件是 $n$ 为素数

设 $R$ 是有单位元 $e \neq 0$ 的交换环，$I$ 是 $R$ 的理想，则 $I$ 是 $R$ 的素理想的充分必要条件是 $R / I$ 是整环

极大理想

设 $R$ 是一个交换环，$M$ 是 $R$ 的真理想。如果对 $R$ 的任一包含 $M$ 的理想 $N$，必有 $N=M$ 或 $N=R$，则称 $M$ 为 $R$ 的一个极大理想

设 $R$ 是有单位元 $e$ 的交换环，$I$ 为 $R$ 的理想，则 $I$ 是 $R$ 的极大理想的充分必要条件是 $R / I$ 是域

设 $R$ 是一个有单位元的交换环，则 $R$ 的每个极大理想都是素理想

• 若没有单位元，则不一定成立
• 素理想不一定是极大理想
• 非零素理想不一定是极大理想

特征

设 $R$ 为环，如果存在最小的正整数 $n$，使得对所有的 $a \in R$，有 $n a=0$，则称 $n$ 为环 $R$ 的特征。如果这样的正整数不存在，则称环 $R$ 的特征为 $0$。环 $R$ 的特征记作 $\operatorname{Char} R$

• $\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}$ 的特征都等于 $0$
• 一般地，如果 $R$ 是一个数环，则 $\operatorname{Char} R=0$
• 设 $\mathbf{Z}_{m}$ 是模 $m$ 剩余类环，则对每个 $\bar{n} \in \mathbf{Z}_{m}$，有 $$m \bar{n}=\overline{m n}=\overline{0}$$ 而对于任何正整数 $k<m$，有 $$k \overline{1}=\bar{k} \neq \overline{0},$$ 所以 $\operatorname{Char} \mathbf{Z}_{m}=m$
• 对于 $\mathbf{Z}_{m}$ 上的一元多项式环 $\mathbf{Z}_{m}[x]$，也有 $\operatorname{Char} \mathbf{Z}_{m}[x]=m$
• 一个有限环的特征是一个正整数

设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环，如果 $e$ 关于加法的阶为无穷大，那么 $R$ 的特征等于 $0$。如果 $e$ 关于加法的阶等于 $n$，那么 $\operatorname{Char} R=n$

整环的特征是 $0$ 或者是一个素数，域也是

同态与特征

设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环，则映射

$$\begin{aligned} \phi:\mathbf{Z} & \longrightarrow R,\\ n & \longmapsto n e \end{aligned}$$

是环 $\mathbf{Z}$ 到 $R$ 的同态

设 $R$ 是有单位元的环

• 如果 $R$ 的特征为 $n>0$，则 $R$ 包含一个与 $\mathbf{Z}_{n}$ 同构的子环
• 如果 $R$ 的特征为 $0$，则 $R$ 包含一个与 $\mathbf{Z}$ 同构的子环

设 $F$ 是域

• 如果 $F$ 的特征是 $0$，则 $F$ 包含一个与有理数域同构的子域
• 如果 $F$ 的特征是素数 $p$，则 $F$ 包含一个与模 $p$ 剩余类环 $\mathbf{Z}_{p}$ 同构的子域

素域

一个域 $F$ 如果不含任何真子域，则称 $F$ 是一个素域

设 $F$ 是个域

• 如果 $\operatorname{Char} F=0$，那么 $F$ 包含一个与 $\mathbf{Q}$ 同构的素域
• 如果 $\operatorname{Char} F=p>0$，那么 $F$ 包含一个与 $\mathbf{Z}_{p}$ 同构的素域